ABELIANO
ABELIANO
. Portano questo nome diversi enti matematici. In primo luogo i gruppi di sostituzioni permutabili, cui si legano equazioni algebriche (abeliane) risolubili per radicali (v. gruppi, equazioni algebriche). In secondo luogo gli integrali di differenziale algebrico, cioè del tipo /Φ(xy) dx, dove Φ designa una funzione razionale della x e y, legate da una relazione algebrica f (xy) = 0. A questi integrali appartiene una proprietà generale scoperta da Abel (1826), che estende il teorema d'addizione per le funzioni ellittiche (v. ellittiche).
Dopo Abel gl'integrali abeliani sono stati studiati da Riemann (1851-57), che li ha considerati come funzioni dei punti della superficie, in generale più volte connessa, che rappresenta l'insieme delle soluzioni reali e complesse dell'equazione f (xy) = o. L'ordine di connessione 2p di questa superficie fornisce qui un carattere fondamentale: il numero p, dopo Clebsch e Cremona, ha ricevuto il nome di genere. Riemann ha distinto tre specie d'integrali abeliani annessi ad una superficie di genere p. Gl'integrali di prima specie sono quelli ovunque finiti e continui sopra la superficie: ve ne sono precisamente p linearmente indipendenti, a prescindere dalla costante addittiva; essi sono funzioni polidrome definite a meno di 2p costanti (periodi), che corrispondono ai 2p cicli della superficie di Riemann 2p volte connessa. Integrali di seconda specie sono quelli che hanno sopra la superficie di Riemann soltanto dei poli: di questi ve ne sono 2p algebricamente indipendenti, cioè definiti a meno d'una funzione razionale, computando in tale numero i p integrali particolari che si riducono alla prima specie. Finalmente diconsi integrali di terza specie quelli che posseggono dei punti d'infinito logaritmico: che è il caso generale.
Dopo il Riemann, Clebsch e Noether (1863-73), hanno insegnato a costruire algebricamente gl'integrali delle tre specie, partendo dalla considerazione della curva piana f (xy) = 0, concepita come luogo di punti reali e complessi. Se questa curva è d'un certo ordine n e possiede d punti doppî, il genere vale
Gl'integrali di prima specie hanno la forma
dove ϕn-3 rappresenta una curva d'ordine n − 3 aggiunta ad f, cioè soggetta alla condizione di passare per i suoi d punti doppi, ed f′ designa la derivata parziale
L'inversione di un integrale abeliano che, per p = 1, conduce a considerare il limite superiore dell'integrale di prima specie come funzione monodroma (e due volte periodica) del punto della curva f, non fornisce più funzioni monodrome, appena il genere p > 1. In questo caso però si ha la soluzione del problema d'inversione di Jacobi (1832-34). Si considerino i gruppi di p punti della curva f; le coordinate d'un gruppo (funzioni simmetriche dei suoi punti) dipendono unicamente dalle somme dei valori dei p integrali di prima specie nei punti del gruppo stesso: così appunto si ottengono funzioni abeliane, 2p volte periodiche di p argomenti. Del resto la loro espressione analitica conduce ad una generalizzazione, in cui più non interviene la curva f da cui siamo partiti. (v. funzioni notevoli).