ACUSTICA NON LINEARE

ACUSTICA NON LINEARE.

Parte dell'a. fisica che si occupa della propagazione di onde elastiche, e degli effetti a essa associati, per perturbazioni di ampiezza non trascurabile rispetto alla lunghezza d'onda.

Parametri di non linearità. − Gran parte dei fenomeni connessi con la propagazione delle onde elastiche nei mezzi materiali è compiutamente spiegata nei termini delle soluzioni dell'equazione delle onde, scritta nella forma lineare

dove per " può intendersi una qualunque grandezza fisica propria della propagazione e la costante c₀, che rappresenta la velocità di propagazione dell'onda, è un'opportuna funzione delle costanti fisiche proprie del mezzo di propagazione. Entro questo limite si suole dire che l'a. è una teoria infinitesima. Tuttavia, una serie di fenomeni, nota da tempo, esula dall'ambito di un'interpretazione lineare e richiede una più completa descrizione; tra tali fenomeni ricordiamo le onde d'urto, la pressione di radiazione, il flusso di materia (streaming) in campo acustico, la cavitazione nei liquidi irradiati, la generazione di armoniche.

Come è ovvio, il limite tra teoria lineare e non lineare non è netto e si può solo dire che possono correttamente trascurarsi gli effetti di non linearità quando i parametri propri della propagazione elastica sono contenuti entro determinati limiti. In particolare, si sogliono individuare tali parametri nel numero di Mach M=v/c₀, eguale al rapporto tra l'ampiezza della velocità di oscillazione v delle particelle e la velocità c₀ di propagazione dell'onda, o nel rapporto tra la variazione della pressione dovuta all'onda e la pressione del mezzo a riposo Άp/p₀, o ancora nel rapporto tra l'ampiezza della vibrazione e la lunghezza d'onda Ν/Ο. È facile verificare che questi parametri sono tutti dello stesso ordine di grandezza, così che si possono indifferentemente considerare trascurabili gli effetti di non linearità quando uno qualunque di essi è molto più piccolo dell'unità. Infatti, poiché l'ampiezza di variazione della pressione in un fluido, per es., è Άp=Ϊ₀c₀v, con Ϊ₀ densità del mezzo, si ricava facilmente M=Άp/(Ϊ₀c²) che, nel caso di un gas in cui è c₀=(ΑΆp/p₀)^1/2 con Α=c_p/c_v rapporto tra i calori molari isobaro e isocoro, diviene e nel caso di un solido isotropo in cui il modulo di Young è E=Ϊ₀c², diviene M=Άl/l allungamento relativo, o anche M=2ΠΝ/Ο.

Il limite, tuttavia, entro il quale questi parametri si possono considerare trascurabili rispetto all'unità va considerato con attenzione. I fenomeni di non linearità, infatti, sono cumulativi e a questo fine basta considerare, quale esempio, che un suono di 140 dB in aria, corrispondente a un numero di Mach M=10⁻³, dà luogo a evidenti fenomeni di distorsione non lineare dell'onda dopo un percorso di 1000 lunghezze d'onda. La giustificazione può essere trovata facilmente se si considera che il profilo di velocità v, per es., di un'onda piana in un fluido trasla secondo x con una velocità che è essa stessa funzione di v secondo l'espressione

già fornita da Poisson nel 1808. L'affinamento di questa idea conduce a considerare le cosiddette curve caratteristiche dell'equazione del moto, lungo le quali si definiscono alcune invarianti del moto. L'equazione [2] è rappresentata graficamente nella fig. 1, in cui sul piano (x, t) sono riportate in tratteggio le linee di velocità v costante: esse sono approssimativamente delle rette, non tuttavia parallele quali sarebbero nel caso di propagazione lineare, ma convergenti e divergenti a tratti, a seconda dei valori locali della stessa velocità v. Nei possibili punti di convergenza (A, A′...) si dovrebbero avere contemporaneamente due o più distinti valori del campo acustico: in realtà in questi punti si forma un fronte d'onda a gradiente di campo infinito, ovvero un'onda d'urto o di shock.

Per quanto segue considereremo, nell'ordine: la propagazione non lineare nei fluidi e nei solidi, e i relativi fenomeni della generazione di armoniche, della pressione di radiazione, dello streaming e della cavitazione.

Non linearità nei mezzi materiali. − Se nella descrizione del moto di un fluido si fa uso delle cosiddette coordinate di riferimento lagrangiane, ovvero delle posizioni a occupate dalle particelle che all'istante t si trovano in x(a, t), per queste lo spostamento dalla posizione di equilibrio, o di riposo, si scrive

Riferendosi a queste coordinate, l'equazione del moto assume la generica forma non lineare seguente, qui trascritta per lo spostamento in una sola direzione

con c = (=p/=Ϊ)^1/2. Inoltre, se si sviluppa l'espressione della pressione in funzione della compressione s = ΆΪ/Ϊ₀ = =Ν/=a, secondo la

si ricava l'equazione del moto

con c₀ = (A/Ϊ₀)^1/2. È interessante notare che, se si annulla il parametro B, l'equazione si riduce a quella precedente con c = c₀. Questo sta a indicare che anche nel caso in cui vi sia una relazione lineare tra la pressione e la compressione, ovvero tra la deformazione e lo sforzo, l'equazione del moto mantiene una connotazione tipicamente non lineare, dovuta alla intrinseca non linearità geometrica della deformazione. Si parla infatti in generale di non linearità fisica e di non linearità geometrica della propagazione, intendendosi con la prima quella derivante dall'intrinseca relazione non lineare costitutiva del mezzo di propagazione e con la seconda quella derivante appunto dalla definizione stessa di deformazione. Il valore relativo del parametro B rispetto ad A dà la misura del grado di non linearità (fisica) del mezzo di propagazione: alcuni valori del rapporto B/A sono riportati nella tab. per alcuni fluidi.

Nel caso dei gas, se per essi si suppone che sia valido il comportamento ideale descritto dall'equazione di stato pV=nRT per n moli alla temperatura assoluta T, la trasformazione al passaggio dell'onda elastica può considerarsi approssimata dall'equazione propria di una trasformazione adiabatica, per la quale risulta

Nel caso di un solido, la relazione [5] tra la pressione e la compressione dovrà essere sostituita dalla relazione costitutiva del mezzo che lega lo sforzo Ϋ_ij alla deformazione Β_kl secondo la legge dell'elasticità

che, nel caso di un mezzo isotropo e per un'onda piana che si propaghi in direzione x, si semplifica in

con

Generazione di armoniche e variazione di velocità. − Secondo quanto già accennato in precedenza, la propagazione non lineare di un'onda elastica provoca la generazione di frequenze armoniche, che si accoppiano durante il cammino di propagazione, così da determinare un costante passaggio di energia elastica da un'armonica a un'altra. Il fenomeno è descritto da un sistema di equazioni parametriche accoppiate, nelle quali i coefficienti di accoppiamento sono legati alle costanti di non linearità del mezzo. È peraltro facile vedere che se si suppone di risolvere in prima approssimazione l'equazione non lineare delle onde, quale per es. la [9] per un solido isotropo o l'analoga [6] per un liquido, con un'onda piana sinusoidale di pulsazione ἁ e numero d'onda k₀, la presenza del termine quadratico equivale ad avere a secondo membro una frequenza doppia della fondamentale (seconda armonica), e un addizionale termine costante, che conducono a una soluzione del tipo:

con un numero d'onda k modulato nel tempo e nello spazio. La presenza della seconda armonica così dedotta provoca la nascita di un'onda di frequenza tripla, dalla quale si produrrà un'onda di frequenza quadrupla, oltre che un riflusso di energia verso l'armonica fondamentale, e così via in un processo a catena di accoppiamento tra tutte le onde di varia frequenza presenti (fig. 2).

Senza addentrarci nel caso generico, consideriamo la generazione della sola seconda armonica da un'onda fondamentale. Consideriamo, a tal fine, il primo tratto della propagazione di un'onda generata da un trasduttore in un mezzo: si può ragionevolmente supporre che l'energia sia essenzialmente confinata nell'onda di frequenza fondamentale e che solo una piccola parte fluisca verso la seconda armonica. In tal caso sarà molto ridotto il flusso di energia verso le armoniche superiori alla seconda per la ridotta ampiezza della stessa seconda armonica. Il sistema di equazioni parametriche si riduce di fatto a una sola equazione, descrivente il flusso di energia dalla fondamentale di ampiezza A⁽¹) alla seconda armonica di ampiezza A⁽²), che si risolve in:

con ° coefficiente di accoppiamento.

Il termine costante che si produce nell'equazione per la presenza del termine non lineare corrisponde a sua volta a un irrigidimento medio accresciuto del mezzo, che determina un cambiamento della velocità di propagazione dell'onda. Si può facilmente intuire l'origine di questo fenomeno, se si pensa al caso di una corda vibrante tesa tra i due estremi fissi. Se la corda è in oscillazione, la sua lunghezza media nel tempo è maggiore di quando è a riposo: maggiore sarà pertanto la tensione media cui è sottoposta e maggiore quindi la velocità di propagazione dell'onda su di essa.

Pressione di radiazione, streaming, cavitazione. − Se la generazione di armoniche e la variazione di velocità di propagazione si possono considerare come effetti prodotti sull'onda dalle non linearità del mezzo di propagazione, i fenomeni della pressione di radiazione, dello stream ing acustico e della cavitazione, che esamineremo in questo paragrafo, si possono ritenere in un certo senso interessanti il mezzo stesso di propagazione.

In un fluido irradiato elasticamente la pressione media presente nel mezzo è maggiore di quella che si avrebbe a riposo, in condizioni identiche, ma in assenza di radiazione. Se il fenomeno è di difficile descrizione analitica, esso è tuttavia facilmente comprensibile in termini qualitativi. Se, infatti, si pensa alla perturbazione prodotta da un'onda elastica in un mezzo fluido a un certo istante, si può considerare che in prima approssimazione lo spostamento delle particelle di fluido dalle loro posizioni di riposo sia sinusoidale e che nei punti di spostamento nullo la pressione sia massima o minima a seconda del segno della derivata dello spostamento rispetto alla variabile spaziale. Se si considera una piccola zona di fluido attorno a due punti di valore istantaneo massimo e minimo della pressione, è facile intuire che a eguali spostamenti a convergere verso il punto di spostamento nullo o a divergere da questo, non possono corrispondere eguali variazioni relative di volume ΆV/V e quindi di pressione Άp aggiuntiva o sottrattiva rispetto al valore p₀ di riposo.

L'effetto della pressione di radiazione si rende ben manifesto in un liquido irradiato quando il fascio acustico di una certa potenza sia inviato verso la superficie libera: su questa, infatti, possono manifestarsi vistosi effetti di nebulizzazione in seguito all'insorgenza di un effetto di fontana acustica, ovvero dell'innalzarsi di una regione della superficie al di sopra del livello di equilibrio. Analogamente, sulla superficie di separazione tra due liquidi stratificati, la pressione di radiazione ne provoca il rapido mescolamento. L'effetto è ben visibile nella fig. 3, relativa a campi prodotti su interfacce tra liquidi differenti. Basato sulla pressione di radiazione è anche un classico metodo di misura del campo acustico, utilizzante una bilancia di torsione, in cui un elemento sensibile è soggetto a una forza derivante dalla pressione esercitata dal campo su di esso.

Di difficile trattazione analitica è il fenomeno dello streaming acustico, o del flusso di materia dovuto a irraggiamento acustico. Esso è facilmente osservabile in fluidi sottoposti a intenso irraggiamento e si evidenzia ancor più in presenza di discontinuità o di impurità nel fluido. Esso si deve all'insorgenza di una forza netta diversa da zero su ogni particella di fluido irradiato, come media temporale di termini superiori nell'equazione del moto. Peraltro, la conservazione della massa del fluido richiede che a un flusso diretto secondo un certo verso corrisponda un controflusso in zone di campo più debolmente irradiate, o comunque ai bordi del campo.

Un ulteriore fenomeno insorgente in un mezzo irradiato acusticamente e legato alla natura non lineare delle onde è la cosiddetta cavitazione acustica. Col termine generico di cavitazione si intende la formazione di cavità all'interno di un liquido in condizioni di pressione ridotta ovvero di forze tensili. Per una fissata temperatura, infatti, se la pressione del liquido viene localmente ridotta in modo rapido, si determinano le condizioni di sovrariscaldamento per le quali il liquido tende a portarsi bruscamente allo stato gassoso. Ciò può essere indotto dal passaggio di un'onda acustica di grande intensità, per via della produzione locale di una variazione di pressione, che ciclicamente si riduce al di sotto dei valori di soglia per la cavitazione.

In realtà, il fenomeno può iniziarsi per la presenza di microbolle di gas disciolte nel liquido, le quali vengono poste in oscillazione dal passaggio dell'onda secondo il modello semplificato descritto dall'equazione.

nella quale R è il raggio della bolla oscillante, p_∞' la pressione nel liquido e p(R) la pressione all'interno della bolla di raggio R. Durante il moto di oscillazione della bolla si avrà un flusso alternato di vapore attraverso la superficie della bolla, il quale è mediamente diretto verso l'interno dato che il valore medio della superficie quando il flusso è in entrata è più grande rispetto a quando è in uscita. Ciò determina un progressivo incremento del raggio della bolla (cavitazione continua) che può modificare le condizioni dinamiche sino a che, per un certo valore del raggio, la bolla subisce un violento collasso (cavitazione impulsata).

Il fenomeno della cavitazione si può mettere facilmente in evidenza mediante l'introduzione di un idrofono nel liquido irradiato. La presenza di cavitazione continua produce la nascita di subarmoniche acustiche nel liquido e quindi le condizioni del cosiddetto caos deterministico.