AERODINAMICA

AERODINAMICA (I, p. 569; App. I, p. 27)

Aerodinamica delle velocità del suono. - Le altissime velocità raggiunte nel volo meccanico in questi ultimi anni, hanno destato un vivo interesse per i capitoli della aerodinamica ipo- ed ipersonica, corrispondenti cioè ai moti fluidi, nei quali una delle componenti della velocità è poco inferiore o supera la velocità di propagazione delle onde di pressione, cioè la velocità del suono.

Questo fenomeno consiste nell'alternarsi di condensazioni e di rarefazioni entro strati paralleli di aria, con passaggio rapido della pressione da ciascuno strato all'adiacente. Esso rassomiglia al movimento oscillatorio di una fune tesa, che venga colpita in un punto, e lungo la quale lo spostamento procurato dalla percossa si propaga con velocità tanto maggiore quanto più grande è la tensione della fune e quanto più piccola è la sua massa per unità di lunghezza.

È pure analogo al moto ondoso suscitato dalla caduta di un oggetto sulla superficie di uno stagno, il quale moto si propaga per circoli concentrici; ovvero dalla prora di una nave, nel qual caso l'onda si svolge secondo due rette fiancheggianti la nave, in figura di freccia.

Velocità del suono. - La teoria capace di spiegare i moti fluidi con velocità prossime a quella del suono è completamente diversa dalla aerodinamica classica, che suppone il fluido incompressibile, trascurando le variazioni di densità che accompagnano sempre le variazioni di pressione. Ciò può essere lecito finché le velocità non superano sensibilmente i 100 metri al secondo. Di fatto, l'arresto di una colonna fluida con la suddetta velocità provoca, nelle condizioni normali dell'atmosfera, un aumento di pressione di 625 kg./m² ossia di 1/16 di atmosfera, e nella stessa misura cresce la densità, supposto che il processo di compressione avvenga a temperatura costante. Questo aumento può, nei problemi tecnici, essere trascurato. Ma per le velocità maggiori, l'errore commesso cresce rapidamente, finché, raggiunta la velocità del suono, i caratteri della fluidodinamica cambiano in modo fondamentale.

L'aumento di densità del fluido accresce la massa alla quale il mobile deve comunicare il moto, per aprirsi il varco entro di esso; ne segue un incremento di resistenza contro la prora del mobile, che può essere ridotto, dandole forma ogivale aguzza, come nei proiettili.

D'altra parte si tenga presente che nei veicoli di forme aerodinamiche, alle velocità normali, la suddetta resistenza è compensata, in modo più o meno completo, dalla spinta che il fluido, rinchiudendosi a tergo, esercita a poppa.

In ciò consiste il ricupero, favorito dalle forme allungate di poppa. Però, accostandosi, o superando la velocità del suono, è intuitivo che questo ricupero deve riuscire via via meno perfetto, perché il mobile avanza più rapidamente dell'onda di pressione che lo insegue, e quindi, a tergo di esso, si esalta la depressione.

Ne segue che le forme aerodinamiche di poppa perdono la loro importanza. Vediamo di fatto nei proietti il fondello spianato, che dà alla camera di combustione delle polveri forma più idonea, mentre in balistica è noto che il guadagno di gittata, realizzabile con un fondello rastremato, non è grande.

Contemporaneamente possiamo renderci conto della fortissima esaltazione della resistenza quando si raggiunge la velocità del suono, la quale costituisce quindi una barriera difficile a superare.

Si osservi poi che alle velocità ipersoniche, la massa fluida che risente la perturbazione delle onde di pressione, emananti dalla superficie del solido, diventa nella regione da esso occupata tanto meno ampia, quanto più la sua velocità supera quella del suono. Si può quindi intuire come, superata detta velocità, se il mobile ha forma ogivale molto aguzza, la massa fluida che reagisce per inerzia contro di esso vada diminuendo col crescere della velocità, e quindi decresca la resistenza specifica.

Agli effetti della resistenza, la velocità del suono ha dunque realmente i caratteri di una barriera, superata la quale, con opportuna configurazione del mobile, è relativamente meno difficile accrescere ulteriormente la velocità.

A precisazione di questi concetti si espongono i caposaldi della teoria, cominciando dalla deduzione della legge del moto fluido alle velocità ipo ed ipersoniche.

Analogamente alla velocità di trasmissione dello spostamento lungo una fune tesa, la velocità c del suono in un gas cresce con la sua pressione p e diminuisce col crescere della sua densità ρ.

Si ha per l'appunto

dove, la seconda espressione si deduce dalla prima, ritenendo che il processo di condensazione e di rarefazione avvenga senza sottrarre o dare calore al gas, cioè con legge adiabatica

essendo k il rapporto fra i calori specifici a pressione ed a volume costante, uguale ad 1,4 per i gas biatomici, come l'aria.

La terza espressione di c si deduce dalla seconda, ricorrendo alla equazione di elasticità dei gas perfetti, ed esprimendo in equivalente di energia meccanica il calore specifico c_p a pressione costante per un peso di gas di 9,81 kg. Alla temperatura media dell'ambiente di 15° centigradi, per la quale T = 15 + 273, si ottiene come velocità del suono c- 340 m/sec.

Essa cresce lentamente col crescere della temperatura, appunto perché, contemporaneamente, diminuisce la densità.

Moto ipersonico lungo un tubo sottile. - Ora, se in un tubo sottile di sezione libera A, variabile lungo il tubo, scorre, con moto permanente, un fluido gassoso, privo di viscosità, e quindi non soggetto ad alcuna azione frenante di parete, la condizione di continuità, tenuto conto che la densità può variare, si esprime scrivendo che la portata in unità di massa è

Ne deriva lungo l'asse del tubo, variando x

Essendo poi per la [1]

mentre la massa dello strato d'aria, trasversale all'asse del tubo, ρA dx è soggetta alla forza − A d p, e quindi alla accelerazione

si deduce

e quindi dalla [4]

Dunque: nel regime subsonico (V 〈 c) la sezione libera A del tubo deve crescere, se diminuisce la velocità (di fatto dA e d V hanno segno contrario).

Nel regime ipersonico (V > c) avviene l'opposto: occorre cioè un tubo convergentei per fare diminuire la velocità lungo il percorso e far quindi crescere la pressione.

La formola [5] porta il nome di Hugoniot.

Essa dimostra in modo elementare come la velocità del suono costituisca una barriera, al di là della quale le leggi della fluido-dinamica debbono invertirsi.

Così le prese dinamiche, cioè le bocche di captazione dell'aria per alimentare i motori degli aeroplani, utilizzando la velocità del volo per comprimerla, sono normalmente divergenti, cioè a sezione crescente nel senso del moto dell'aria captata. Se però l'aereo fosse capace del regime ipersonico, il primo tronco della presa dovrebbe essere convergente.

Le equazioni generali dei moti fluidi con velocità v e w di moderata grandezza nelle direzioni y e z, trasversali rispetto alla direzione x del flusso predominante u, si possono ridurre alla forma

la quale, come la [5], contiene il binomio che cambia segno, secondoché u 〈 c ovvero u > c. Nel 1° caso (regime subsonico) i coefficienti dei tre gradienti della velocità hanno tutti lo stesso segno, e l'equazione si dice di tipo elittico. Nel 2° caso (regime ipersonico) il primo coefficiente diventa negativo e l'equazione si dice di tipo iperbolico. In questo secondo caso il campo delle velocità cambia i suoi caratteri, e presenta delle discontinuità.

Coni di Mach. - Per renderci conto in modo elementare di queste discontinuità, caratteristiche dei moti ipersonici, consideriamo dapprima l'aria immobile e dentro di essa consideriamo un punto in movimento, che nelle successive posizioni (centri di emissione) eccita onde di pressione nel mezzo, le quali si propagano con la velocità del suono, venendo a costituire fronti d'onda sferiche.

Se la velocità del centro di emissione è minore di quella del suono, le onde sferiche, provenienti dai centri successivi, sono contenute in quelle di emissione più antica.

Nel caso opposto i successivi centri di emissione 2 e 3 sono esterni alle onde sferiche di emissione antica 1 e 2 (v. fig.1), per la dimensione che la 1 ha raggiunta quando la 2 comincia a formarsi. Il complesso di esse risulta chiuso entro un cono col vertice nella posizione 3 finale del centro. Il fenomeno è del tutto analogo a quello dell'onda a freccia, suscitata dalla prora di una nave (v. sopra), essendo la velocità della nave superiore a quella di propagazione dell'onda. Il cono inviluppo delle onde sferiche sonore è sede dello strato compresso, che forma la fronte dell'onda, al di là della quale non è ancora giunta la perturbazione, e quindi non è ancora giunto il suono emesso dal punto mobile. Si dice cono di Mach il cono così definito e numero di Mach il rapporto fra la velocità del punto emittente e la velocità del suono, in omaggio al fisico, che nel 1887 riuscì per primo a fotografare l'onda conica davanti all'ogiva di un proietto.

La visualizzazione delle onde di Mach si fonda sulla deviazione del raggio luminoso, provocata dalla maggiore densità dell'aria dello strato conico, poiché con la densità cresce l'indice di rifrazione.

Se un fascio di raggi paralleli, normale all'asse del cono, lo attraversa, il cammino della luce nell'interno dello strato sottile compresso è breve per tutta la estensione del cono, ma cospicuo sul suo contorno apparente.

La deviazione dei raggi tangenti al cono è dunque rilevante, cosicché sullo schermo a tergo di esso i suddetti raggi non giungono, disegnando una linea d'ombra, mentre quelli adiacenti non deviati si sovrappongono a quelli deviati, dando una linea brillante.

L'immagine fugacissima, data la velocità dell'oggetto a cui si accompagna, può essere fotografata facendo scattare automaticamente l'otturatore della camera fotografica, nell'istante in cui il proietto passa davanti al l'obbiettivo.

Per grandi numeri M di Mach, l'onda conica riesce sempre più aguzza, poiché la semiapertura a del cono è tale che

Moti ipersonici a due dimensioni. - La struttura della corrente ipersonica è stata particolarmente studiata nel caso dei moti fluidi a due dimensioni (moti paralleli ad un piano x y), nei quali la velocità ipersonica u, diretta secondo l'asse x del flusso e la velocità v di piccola grandezza, diretta secondo y, trasversale alla direzione del moto dominante, debbono soddisfare la relazione deducibile dalla [6] sopprimendo il termine in z e introducendo l'angolo di Mach, con che risulta, ricorrendo alla [7]:

Ponendo come luogo dei punti per cui α è costante y = x tang α, si deduce dalla [8] u = u_o + v tang α; e poiché la componente della velocità in direzione trasversale v è controllata dall'andamento del profilo di parete, convergente o divergente, con gli effetti relativi alla variazione della pressione lungo il percorso che già conosciamo, si può affermare che le linee di Mach sono i gradini attraverso i quali la pressione subisce piccoli incrementi, o piccole diminuzioni.

Contemporaneamente varia anche la velocità W risultante di u e v, e quindi l'orientazione delle linee di Mach, essendo l'angolo a funzione di W.

Se il flusso procede da un recipiente a pressione p_o, temperatura assoluta T_o e densità ρ_o, la velocità nel punto a pressione p e temperatura T, nella ipotesi dell'efflusso adiabatico è data da

avendo C_p il significato già dichiarato nella [1].

Il valore limite di W è

D'altra parte, scomponendo W nella componente v, normale alla linea di Mach locale, e nella u parallela ad essa, si ha v = W sen α = c, velocità locale del suono, calcolabile con l'ultima delle [1]. Si ha quindi

e finalmente

che definisce come diagramma delle componenti u e v un diagramma ellittico, con rapporto dei semiassi W_o : W* uguale a

il quale è al tempo stesso il diagramma W, α.

Odografa e caratteristiche. - Si deduce per conseguenza che l'odografa delle velocità è una epicicloide, che nasce ad angolo retto dal circolo di raggio W* e raggiunge, in direzione tangente, il circolo di raggio W_o.

Tracciando una doppia schiera delle suddette epicicloidi, girate rispetto ai circoli di base nei due sensi opposti, si possono costruire le caratteristiche di una corrente gassosa, guidata in moto piano fra due pareti, segnando la doppia schiera delle linee di Mach che la attraversano sorgendo dalle pareti stesse e deducendone le pressioni nei punti di incrocio delle linee suddette.

Onde d'urto. - Se le linee di Mach si intrecciano, i salti di velocità e di pressione che, attraverso a ciascuna di esse, sono, come si disse, piccolissimi, vengono a sommarsi, provocando salti di pressione di notevole entità, localizzati, che costituiscono l'onda d'urto (v. fig. 2).

Ciò avviene quasi certamente nei condotti convergenti, lungo i quali, in regime ipersonico, la pressione cresce, mentre la velocità diminuisce: e quindi le linee di Mach, procedendo lungo la corrente, formano angoli col suo asse via via crescenti e perciò si intrecciano, provocando in una sezione un gran salto di pressione accompagnato da una grande ed istantanea variazione di densità.

Il fenomeno si verifica anche nei condotti divergenti, quando cioè la pressione cade al di sotto di quella che regna all'uscita, come appare nella figura 2.

Nel caso generale dell'onda d'urto obliqua rispetto alla direzione del flusso, la velocità W ha componente tangenziale W_t e normale W_n. La prima si conserva inalterata passando da monte a valle dell'onda, mentre la seconda componente è soggetta a una diminuzione che è in relazione con l'aumento di pressione, secondo il principio dell'impulso, per il quale si ha:

Affermando poi che la somma dell'energia interna e dell'energia cinetica del gas è costante, si scrive l'altra relazione fondamentale

dove W_t e W₂ sono le velocità totali a monte ed a valle, risultanti delle W_n e W_t.

Si dimostra che il diagramma polare delle velocità a valle per una data velocità a monte è la strofoide di Cartesio, con figura di foglia, riferita al suo asse di simmetria, secondo lo schema della fig. 3, nella quale è indicata in alto la costruzione per punti D della curva per mezzo delle circonferenze AO ed HO; in basso la caduta della velocità normale all'onda d'urto, che passa da W_n1 a W_n2 e la conseguente deviazione Δ della velocità da monte a valle. Contemporaneamente, nel gas che attraversa l'onda d'urto, ha luogo un aumento di entropia.

Nel caso particolare dell'onda d'urto normale alla direzione del flusso, la velocità a valle iposonica e la velocità a monte ipersonica sono tali che il loro prodotto uguaglia il quadrato della velocità c del suono.

L'onda d'urto effettiva che si verifica nell'interno di un condotto in cui si stabilisce il regime ipersonico non è però, come afferma la teoria sopra esposta, sottilissima, ma occupa un tratto di lunghezza finita, come la fig. 2 dimostra. Inoltre non è stazionaria, ma oscilla e si ripete, manifestandosi spesso in due posizioni distinte simultaneamente, l'una a valle dell'altra, contraddicendo il carattere messo in evidenza dall'analisi teorica, secondo la quale, passando da monte a valle dell'onda, la velocità si deve ridurre a valori inferiori alla velocità del suono, escludendone quindi la ripetizione.

La spiegazione del fenomeno si deve ricercare nella presenza dello strato limite; cioè dello strato fluido sottile, adiacente alla parete del condotto, che, per effetto dell'attrito e della viscosità, scorre assai più lento della corrente assiale. L'onda d'urto che si forma in quest'ultima non si estende allo strato limite, perché in esso la velocità è troppo piccola.

La maggior pressione a valle dell'onda può quindi scaricarsi verso monte attraverso lo strato suddetto, nel quale lo sbarramento manca. Ciò attenua e rende parziale il fenomeno, determinando quindi il rallentamento della corrente, la quale è, per conseguenza, in condizione di rinnovare l'urto più a valle, come si vede nella fig. 2.

Moti trans-sonici. - L'aerodinamica presenta complicazioni maggiori nei regimi di velocità poco inferiori a quelle del suono in quanto, a contatto con le pareti degli ostacoli, a valle della loro prora, si hanno regioni in cui la velocità è maggiore di quella che regna nella corrente a grande distanza dall'ostacolo stesso. Cosicché, se a questa corrente competono numeri di Mach inferiori all'unità, nelle regioni sopra accennate il flusso raggiunge facilmente e supera la velocità del suono.

I fenomeni delle linee di Mach e delle onde d'urto si localizzano allora in porzioni più o meno estese del flusso, e quindi le azioni fluidodinamiche obbediscono in alcune parti alle leggi dell'aerodinamica classica; in altre a quelle dell'aerodinamica ipersonica che sono, come si disse, contraddittorie con le prime.

Questo regime si dice trans-sonico, perché in esso avviene il passaggio dal fenomeno iposonico a quello ipersonico. Presentemente esso è il più studiato, perché corrisponde alle velocità dei velivoli più rapidi. Si dice numero critico di Mach quello corrispondente al moto per il quale la velocità, nelle regioni sopra indicate, raggiunge esattamente la velocità del suono. Esso corrisponde all'inizio della legge incrementale accentuatissima della resistenza. Così per il profilo d'ala rappresentato nella fig. 4, esposto ad una corrente di elevata velocità, con numero di Mach inferiore all'unità, si hanno due onde d'urto nettamente visibili nella regione che segue quella di massimo spessore: ciò dimostra che in essa il numero di Mach ha superato l'unità. L'onda posteriore non raggiunge però la parete per la presenza dello strato limite, che riveste il profilo e si estende a poppa costituendo la scia. Inoltre l'angolo della suddetta onda con la direzione del flusso è sensibilmente di 90°, confermando che in quella regione si ha M = 1.

Bibl.: J. Ackeret, Gasdynamik, in Handbuch der Physik, VII, 5, Berlino 1927; A. Busemann, Gasdynamik, in Handbuch der Experimentalphysik, IV, i, Lipsia 1931; T. von Koirmán, Il problema della resistenza nei fluidi compressibili, Roma 1935 (V Congr. Volta); C. Ferrari, Dinamica dei fluidi compressibili alle velocità ipersonore, in Atti dell'Acc. pontificia delle scienze, I (1937), fasc. 4; id., Pressione esercitata su corpi solidi rotondi con punta ogivale in una corrente obliqua di un fluido compressibile a velocità ipersonora, in Rend. dell'Acc. di sc. di Torino, novembre-dicembre 1936; id., La determinazione del proiettile di minima resistenza d'onda, ibid., luglio-ottobre 1939; novembre-dicembre 1939; J. Stack, Compressible Flows in Aeronautics, in Journal of the Aeronautical Sciences, XII, aprile 1945; R.E. Meyer, The method of Characteristics for compressible flow involving two independent variables, VI Congr. intern. di meccanica, Parigi 1946; T. von Koírmán, Supersonic Aerodinamics: Principles and Applications, in Journal of the Aeronautical Sciences, XIV, luglio 1947.