Clifford, algebra di
Clifford, algebra di
Clifford, algebra di particolare struttura algebrica di interesse matematico che trova applicazioni anche in fisica. È così definibile: dati uno spazio vettoriale V su un campo K e una forma quadratica Q: V → K, l’algebra di Clifford di V (rispetto a Q) è l’algebra associativa unitaria su K, indicata con C(V, Q), generata da V modulo le relazioni {v2 = Q(v), ∀v ∈ V}, dove K è identificato con il sottospazio vettoriale unidimensionale generato dall’unità di C(V, Q): in altre parole, l’algebra di Clifford C(V, Q) coincide con il quoziente dell’algebra tensoriale T(V) di V per l’ideale generato dall’insieme {v ⊗ v − Q(v); ∀v ∈ V}, dove ⊗ indica il prodotto tensoriale. Nel caso particolare in cui Q è la forma quadratica nulla, l’algebra di Clifford corrispondente è l’algebra esterna di V. Se b: V × V → K è una forma bilineare simmetrica che induce la forma quadratica Q, vale a dire tale che Q(v) = b(v, v) per ogni v in V, allora le relazioni sopra definite implicano che, comunque presi due vettori v e w in V, nell’algebra di Clifford valgono le identità
L’algebra di Clifford C(V, Q) di uno spazio vettoriale V dotato di una forma quadratica Q può essere caratterizzata anche dalla seguente proprietà fondamentale, detta proprietà universale dell’’algebra di Clifford: data una qualsiasi applicazione lineare ƒ: V → A di V in una K-algebra associativa A che soddisfa ƒ(v)2 = Q(v) per ogni v in V, esiste un unico omomorfismo di algebre g: C(V, Q) → A che estende ƒ a C(V, Q). Esempi particolari di algebre di Clifford su R sono l’insieme C dei numeri complessi e quello H dei quaternioni. Per quanto riguarda il primo esempio, C coincide con l’algebra di Clifford associata a uno spazio vettoriale reale unidimensionale, generato da un vettore i, dotato della forma quadratica Q(αi) = −α, dove α è un qualsiasi scalare che moltiplica il generatore i; si ritrova in questo modo l’identità i 2 = −1. Per quanto riguarda il secondo esempio, H coincide con l’algebra di Clifford associata a uno spazio vettoriale reale bidimensionale, generato da due vettori i e j, dotato della forma quadratica Q(αi + (βj) = −α − β, dove α e β sono due qualsiasi scalari che moltiplicano i generatori i e j; si ritrovano in questo modo le identità i 2 = −1, j 2= −1, k 2 = −1 (dove si è posto k = ij). Le algebre di Clifford sono particolarmente importanti nella teoria delle forme quadratiche, nella teoria dei gruppi ortogonali e in fisica.