algebra di funzioni

algebra di funzioni

L’insieme F([a,b],ℂ) di tutte le funzioni f: [a,b]⊂ℝ→ℂ definite su un intervallo [a,b] della retta reale ℝ e a valori nei numeri complessi ℂ costituisce un’algebra, se si conviene che la somma e il prodotto di due funzioni f e g o il prodotto di una funzione f per un numero reale λ siano le funzioni (f+g)(x)=f(x)+g(x), (fg)(x)=f(x)g(x), (λ‚f)(x)=λf(x) ovvero le applicazioni i cui valori in ciascun punto x dell’intervallo [a,b] sono rispettivamente la somma e il prodotto dei valori di f e g (o il prodotto di f per λ) in quello stesso punto. Analizzando le proprietà che hanno permesso di munire l’insieme sopra considerato di una struttura di algebra, non è difficile vedere che si può fare lo stesso per l’insieme F(X,A) di tutte le applicazioni da un insieme qualunque X a un’algebra arbitraria A. Se l’insieme A possiede solamente la struttura di anello, lo stesso varrà per F(X,A). La costruzione sopra introdotta permette evidentemente di definire delle strutture di anello o di algebra su numerosi insiemi di funzioni contenuti in F(X,A). Se su X è assegnata una topologia è possibile considerare l’algebra C⁰(X,ℂ) delle funzioni continue di X a valori complessi o, se X per es., coincide con ℝ, le algebre C^π(ℝ,ℝ) delle funzioni reali derivabili p volte, dove l’intero p può assumere anche il valore infinito (in questo caso le funzioni si dicono liscie). Particolare interesse riveste l’algebra C⁰(X,ℂ), con X compatto: qualora dotata della norma

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e dell’involuzione f*(x)=f(x) (la complessa coniugata di f), diviene una C*-algebra e per il teorema di Gelfand ogni C*-algebra è canonicamente isomorfa a essa per un oppurtuno X compatto. Nella letteratura matematica, il termine algebra di funzioni è spesso riservato alle C*-algebre C⁰(X,ℂ). Notiamo che pur essendo possibile dotare le algebre C^π(ℝ,ℝ) di una metrica, esse non sono algebre normate. Siano ora X compatto e A una sottoalgebra della C*-algebra C⁰(X,ℂ). Quest’ultima è detta separare i punti se per x1≠x2 in X esiste f in A tale che f(x1)≠f(x2). In questo caso vale il teorema di approssimazione di Stone-Weierstrass: la chiusura (nella topologia della norma) di A coincide C⁰(X,ℂ). Per es., se X è l’intervallo [0,1] e A l’algebra generata da monomi della forma x^ν con n=0,1,2..., il teorema afferma che f=∑aν^ν per opportuni aν in ℂ. 

→ Geometria non commutativa