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algebra di funzioni

di Luca Tomassini - Enciclopedia della Scienza e della Tecnica (2008)
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algebra di funzioni

Luca Tomassini

L’insieme F([a,b],ℂ) di tutte le funzioni f: [a,b]⊂ℝ→ℂ definite su un intervallo [a,b] della retta reale ℝ e a valori nei numeri complessi ℂ costituisce un’algebra, se si conviene che la somma e il prodotto di due funzioni f e g o il prodotto di una funzione f per un numero reale λ siano le funzioni (f+g)(x)=f(x)+g(x), (fg)(x)=f(x)g(x), (λ‚f)(x)=λf(x) ovvero le applicazioni i cui valori in ciascun punto x dell’intervallo [a,b] sono rispettivamente la somma e il prodotto dei valori di f e g (o il prodotto di f per λ) in quello stesso punto. Analizzando le proprietà che hanno permesso di munire l’insieme sopra considerato di una struttura di algebra, non è difficile vedere che si può fare lo stesso per l’insieme F(X,A) di tutte le applicazioni da un insieme qualunque X a un’algebra arbitraria A. Se l’insieme A possiede solamente la struttura di anello, lo stesso varrà per F(X,A). La costruzione sopra introdotta permette evidentemente di definire delle strutture di anello o di algebra su numerosi insiemi di funzioni contenuti in F(X,A). Se su X è assegnata una topologia è possibile considerare l’algebra C0(X,ℂ) delle funzioni continue di X a valori complessi o, se X per es., coincide con ℝ, le algebre Cπ(ℝ,ℝ) delle funzioni reali derivabili p volte, dove l’intero p può assumere anche il valore infinito (in questo caso le funzioni si dicono liscie). Particolare interesse riveste l’algebra C0(X,ℂ), con X compatto: qualora dotata della norma

[1]

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e dell’involuzione f*(x)=f(x) (la complessa coniugata di f), diviene una C*-algebra e per il teorema di Gelfand ogni C*-algebra è canonicamente isomorfa a essa per un oppurtuno X compatto. Nella letteratura matematica, il termine algebra di funzioni è spesso riservato alle C*-algebre C0(X,ℂ). Notiamo che pur essendo possibile dotare le algebre Cπ(ℝ,ℝ) di una metrica, esse non sono algebre normate. Siano ora X compatto e A una sottoalgebra della C*-algebra C0(X,ℂ). Quest’ultima è detta separare i punti se per x1≠x2 in X esiste f in A tale che f(x1)≠f(x2). In questo caso vale il teorema di approssimazione di Stone-Weierstrass: la chiusura (nella topologia della norma) di A coincide C0(X,ℂ). Per es., se X è l’intervallo [0,1] e A l’algebra generata da monomi della forma xν con n=0,1,2..., il teorema afferma che f=∑aνν per opportuni aν in ℂ. 

→ Geometria non commutativa

Vedi anche
algebra Uno dei rami fondamentali delle scienze matematiche: in senso lato l’a. studia le operazioni, definite in un insieme, che godono di proprietà analoghe a quelle delle ordinarie operazioni dell’aritmetica. Con significato specifico è sinonimo di sistema ipercomplesso. La parola al-giabr è usata per la ... struttura In senso ampio, la costituzione e la distribuzione degli elementi che, in rapporto di correlazione e d’interdipendenza funzionale, formano un complesso organico o una sua parte; è così chiamato anche il complesso stesso, o un suo componente, inteso come entità funzionalmente unitaria risultante dalle ... automorfismo In algebra, isomorfismo di un insieme dotato di una struttura algebrica (gruppo, corpo ecc.) in sé stesso. In particolare si definisce a. interno (di un gruppo G) l’a. che si ottiene facendo corrispondere al generico elemento x l’elemento y·x·y−1 (tenendo fisso y e facendo variare x in G). L’ a. esterno ... congruenza Nella geometria elementare, sinonimo di uguaglianza (➔) diretta, cioè di sovrapponibilità. Nella teoria dei numeri, relazione di due numeri interi relativi a, b tali che la differenza a−b è divisibile per un numero intero positivo m (detto modulo di una c.); essa si scrive a≡b (mod. m) e si legge: «a ...
Categorie
  • ALGEBRA in Matematica
Tag
  • FUNZIONI CONTINUE
  • NUMERI COMPLESSI
  • RETTA REALE
  • C*-ALGEBRA
  • MATEMATICA
Altri risultati per algebra di funzioni
  • algebra
    Enciclopedia della Matematica (2013)
    algebra ramo della matematica che studia il calcolo numerico generalizzandone le operazioni mediante l’introduzione delle lettere dell’alfabeto a rappresentare i numeri. Un’altra caratteristica essenziale dell’algebra è l’introduzione dei numeri relativi, ossia dei numeri contrassegnati dai segni + ...
  • ALGEBRA
    Enciclopedia Italiana - III Appendice (1961)
    Gli sviluppi dell'algebra generale, o astratta, che ormai può denominarsi a. senz'altro (il termine "a. moderna" tende a cadere in disuso), sono stati così vasti e varî negli ultimi anni da far parlare di un processo di "algebrizzazione" di tutte le matematiche. Una siffatta espansione si riflette anche ...
Vocabolario
àlgebra
algebra àlgebra s. f. [dal lat. mediev. algebra, e questo dall’arabo al-giabr, propr. «restaurazione», e quindi «riduzione» (dapprima nel sign. medico-chirurgico, e poi in quello matematico), che compare la prima volta in un trattato arabo...
algèbrico
algebrico algèbrico agg. [der. di algebra] (pl. m. -ci). – Di algebra, che concerne l’algebra: calcoli a., somma a., analisi a., ecc.; in partic.: espressione a., ogni scrittura in cui compaiano numeri, lettere e indeterminate, queste ultime...
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