Lie, algebra di
Lie, algebra di
Lie, algebra di spazio vettoriale L su un campo F (in generale lo spazio dei numeri reali o complessi) dotato di una legge di composizione interna: L × L → L che associa a una coppia (x, y) di elementi di L un elemento di L, indicato con il simbolo [x, y], che soddisfa le seguenti proprietà:
a) [ax + by, z] = a[x, z] + b[y, z] e [x, ay + bz] = a[x, y] + b[x, z], ∀a, b ∈ F, ∀x, y, z ∈ L
a) (bilinearità)
b) [x, x] = 0, ∀x ∈ L
c) [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0, ∀x, y, z ∈ L
a) (identità di Jacobi)
La proprietà a) e la proprietà b) implicano che l’operazione [., .] è antisimmetrica, vale a dire
b′) [x, y] = − [y, x], ∀x, y ∈ L.
Viceversa se la caratteristica di F è diversa da 2 allora le proprietà a) e b′) implicano la proprietà b). Qualsiasi spazio vettoriale V può diventare un’algebra di Lie (banale) se si pone [x, y] = 0, ∀x, y ∈ V. Un esempio non banale di algebra di Lie è invece lo spazio vettoriale R3 con il prodotto vettoriale.
Importanti esempi di algebre di Lie sono ottenuti a partire dalle algebre associative: se infatti A è un’algebra con un prodotto interno associativo ∗, allora A diventa un’algebra di Lie con il prodotto, detto bracket o parentesi di Lie, definito da [x, y] = x ∗ y − y ∗ x. Questo è per esempio il caso dell’algebra M(n, F) delle matrici quadrate a coefficienti in un campo, che, dotata di questa struttura di algebra di Lie, è indicata con il simbolo gl(n, F). Moltissimi esempi fondamentali di algebre di Lie nascono in questo modo: per esempio l’algebra di Lie sl(n, F), ottenuta a partire dalla sottoalgebra associativa di M(n, F) delle matrici a traccia nulla. Se il campo di definizione è il campo R dei numeri reali, allora ogni algebra di Lie di dimensione finita può essere identificata con lo spazio tangente l’unità di un gruppo di Lie: in questo contesto, l’operazione dell’algebra è l’operazione infinitesimale indotta sullo spazio tangente dalla moltiplicazione del gruppo (→ varietà algebrica).