ALGEBRA

ALGEBRA (II, p. 427)

Algebra moderna. - L'"algebra moderna", che meglio si potrebbe chiamare "algebra astratta" o "algebra generale", si è sviluppata soprattutto negli ultimi venticinque anni dal connubio dell'algebra classica con le vedute della moderna matematica assiomatica, sino a diventare uno degli indirizzi più caratteristici e più fecondi delle matematiche; essa è stata coltivata soprattutto in Germania (con E. Steinitz, Emmy Noether, H. Hasse, B. L. Van der Waerden, E. Artin) e negli Stati Uniti d'America (con O. Ore, M. Wedderburn, A. A. Albert); l'interesse per tale disciplina si è recentemente destato anche in Francia con P. Dubreil ed il gruppo Bourbaki; in Italia, l'algebra moderna non ha ancora eminenti cultori sistematici, ma ridesta sempre più l'interessamento dei matematici, in ispecie per la luce che essa sembra poter portare in svariate questioni, attinenti soprattutto ai fondamenti della geometria algebrica.

1. In armonia con l'idea generale, la quale concepisce la matematica come l'insieme di tutti i possibili sistemi ipotetico-deduttivi, l'algebra moderna preude le mosse da insiemi di elementi di natura del tutto imprecisata, dei quali non interessa considerare alcuna interpretazione concreta; essenziale è soltanto che per gli elementi di tali insiemi, così astrattamente concepiti, siano posti taluni "assiomi" o "postulati" fondamentali, i quali siano tipicamente di carattere "algebrico". A questo proposito giova osservare che per gli algebristi moderni è da considerare come "algebrico" in senso stretto tutto ciò che può basarsi sulle, o esser dedotto dalle quattro operazioni razionali fondamentali dell'addizione, della sottrazione, della moltiplicazione e della divisione, il significato intrinseco di tali operazioni venendo ravvisato non già nel fatto che tali operazioni avvengano tra numeri nel senso concreto della parola, come sarebbero i riumeri interi, o razionali, o reali, o complessi, ma soltanto nelle loro "proprietà formali" (come, ad es., la proprietà associativa e commutativa della somma o del prodotto, o simili).

In conformità a tale concetto, l'algebra moderna opera con "sistemi algebrici", i quali non sono altro che insiemi di elementi di natura imprecisata, tra gli elementi dei quali sono definite tutte o talune delle quattro operazioni fondamentali con tutte o talune delle loro proprietà formali.

Un primo esempio di sistemi algebrici è costituito dai "corpi" (astratti). Un insieme S di elementi di natura imprecisata si dice un corpo se in esso sono definite un'addizione ed una moltiplicazione con le loro operazioni inverse e con tutte le loro proprietà formali, per guisa che in S si possa operare con le stesse regole che valgono nella totalità dei numeri razionali, o dei numeri reali, o dei numeri complessi. Gli insiemi costituiti dai numeri razionali, o dai numeri reali, o dai numeri complessi, costituiscono appunto altrettanti esempî concreti di corpi.

In altre specie di insiemi, che pure formano oggetto di studio da parte dell'algebra moderna, non sono invece verificati tutti gli assiomi, che caratterizzano i corpi. Se così, ad es., per un insieme sono verificati tutti gli assiomi di un corpo, ad eccezione della proprietà commutativa del prodotto, si parla di un "corpo gobbo" o "corpo non commutativo" o "quasi-corpo": un esempio di corpo gobbo è costituito dai "quaternioni". Se invece in un insieme non è definita l'operazione inversa della moltiplicazione, si parla di un "anello", che può risultare commutativo o no a seconda che il prodotto in esso definito sia commutativo o no. Nel tipo più generale di anello può mancare l'"unita", ossia un elemento, il quale, moltiplicato per un elemento arbitrario dell'insieme, lo riproduce. (Tale è il caso dell'anello costituito da tutti i numeri interi "pari"). Inoltre, in un anello possono presentarsi elementi "divisori dello zero", un elemento a dell'anello dicendosi un divisore dello zero se esso è non nullo e se esiste un altro elemento non nullo b dell'anello, tale che a. b = 0; (un esempio di anello dotato di divisori dello zero è costituito da tutte le funzioni continue di una variabile reale x, che assuma tutti i valori tra − 1 e + 1; in tale anello il prodotto della funzione continua "non nulla" f₁ (x), che vale 0 per ogni x ≥ −1 e ≤ 0 mentre coincide con x per ogni x ≥ 0 e ≤ +1, per la funzione continua "non nulla" f₂ (x), che coincide con x per ogni x ≥ −1 e ≤ 0 ed è nulla per ogni x ≥ 0 e ≤ +1, dà come risultato la funzione "identicamente nulla", onde la f₁ (x), così come la f₂ (x), è divisore dello zero).

Un anello commutativo dotato di unità e privo di divisori dello zero, si dice un "campo di integrità".

Altri insiemi, che rientrano nel campo d'indagine dell'algebra moderna sono i "gruppi" (v. gruppo, in questa App.), nei quali è definita una sola operazione, che vien detta comunemente il "prodotto" del gruppo. L'intera teoria dei gruppi costituisce così un capitolo dell'algebra moderna.

Al di là dei gruppi, dei campi d'integrità, degli anelli e dei corpi, l'algebra moderna si estende anche alla "teoria delle algebre" (v. più sotto), nonché ad altri sistemi algebrici, meno profondamente indagati, come i "gruppoidi", i "semigruppi", gli "anelli non associativi", o "non commutativi", e così via.

2. Ciascuno dei tipi di sistemi algebrici più sopra indicati presenta problemi e applicazioni ad esso proprie, che si influenzano e si intrecciano in varie guise tra loro. Le voci corpo astratto, gruppo, struttura (in questa App.) potranno dare una chiara idea dell'estensione immensa e dei metodi peculiari dell'algebra moderna. Vi sono tuttavia talune questioni fondamentali di carattere generale, che si presentano in modo analogo per tutte le specie di sistemi algebrici sopra menzionati, che giova qui indicare, essendo esse tipiche per tutti gli sviluppi dell'algebra moderna.

Due sistemi algebrici S ed S′ si dicono "isomorfi" (rispetto all'addizione ed alla moltiplicazione) se esiste una corrispondenza biunivoca tra gli elementi di S e gli elementi di S′ tale che se a′, b′ sono i corrispondenti in S′ degli elementi a, b di S, a′ + b′ ed a′. b′ siano rispettivamente i corrispondenti in S′ degli elementi a + b ed a. b di S. In parole, si può dire che due sistemi algebrici isomorfi hanno le stesse proprietà rispetto all'addizione ed alla moltiplicazione, onde essi si possono considerare come "astrattamente identici". (Ben inteso, se si considerano sistemi algebrici per i quali sia definita una sola operazione, soltanto rispetto a questa si deve definire l'isomorfismo). Ciò chiarisce la definizione, che è stata data dell'algebra moderna come la "teoria delle proprieta dei sistemi algebrici, che sono invarianti rispetto agli isomorfismi". In accordo con tale definizione, appare come problema centrale di tutta l'algebra moderna il "problema della classificazione" di tutti i sistemi algebrici di una data specie (gruppi, anelli, corpi, ecc.), ossia il problema della "determinazione di tutti i tipi distinti rispetto all'isomorfismo di gruppi, anelli, corpi, ecc.".

3. Naturalmente, il problema della classificazione, in tale generalità, non si sa risolvere; ma si può ben dire che tutti gli sviluppi dell'algebra moderna tendano ad avvicinare la soluzione di tale problema. Ciò succede in ispecie attraverso la ricerca di "teoremi di decomposizione o di struttura", esprimenti relazioni tra un sistema e certi suoi sottoinsiemi di tipo particolare. Alcuni tipici teoremi di struttura sono riportati più sotto, a proposito della "teoria delle algebre".

La considerazione di tutti i sottoinsiemi di dato tipo in un sistema algebrico dà luogo a sua volta a nuovi problemi, la cui soluzione illumina ancora il problema della classificazione. Come ciò avvenga può essere brevemente lumeggiato nel caso tipico della "teoria degli ideali in un anello commutativo". Tale teoria (sgorgata storicamente dallo studio degli ideali nell'anello costituito dagli interi algebrici in un corpo algebrico di grado finito, nonché dalle ricerche sugli ideali di polinomî) è stata portata sul terreno astratto dell'algebra moderna dalla E. Noether. Se R è un anello commutativo qualunque, un sottoinsieme A di R si dice un "ideale" di R, se gode delle seguenti proprietà: 1) se α e β appartengono ad A, appartiene ad A anche α ± β; 2) il prodotto di un elemento arbitrario di A con un elemento arbitrario di, R appartiene ad A. Tale definizione di ideale ha ovviamente un senso invariante rispetto ad isomorfismi, onde si può senz'altro dire che se per due anelli sono diverse le proprietà degli insiemi di tutti i loro ideali, i due anelli sono certo distinti rispetto all'isomorfismo. Ecco, dunque, come la considerazione della totalità degli ideali di un anello si lega al problema della classificazione generale di tutti i possibili tipi di anelli.

Per quanto riguarda lo sviluppo della teoria degli ideali in un anello commutativo qualsiasi, occorre limitarsi forzatamente a pochi cenni. La maggior parte delle questioni trattate si aggira intorno al problema di esprimere ogni ideale come prodotto di ideali di tipo particolare. In tali ricerche, caratterizzate da una grande generalità ed astrattezza, è stato approfondito soprattutto il caso degli anelli soddisfacenti alla "condizione della catena" (il "Teilerkettensatz" della letteratura tedesca), per i quali cioè ogni catena ascendente di ideali è costituita da un numero finito di termini.

4. Si accenna almeno a qualcuna delle sempre più numerose applicazioni dell'algebra moderna. La teoria degli ideali di polinomî, che s'inizia con un classico teorema di D. Hilbert, è stata approfondita soprattutto attraverso le ricerche di E. Noether, W. Schmeidler, B. L. Van der Waerden, W. Krull, W. Gröbner, F. S. Macaulay. Essa ha permesso di mettere su sicure basi i fondamenti della geometria algebrica. Ai rapporti tra geometria algebrica ed algebra moderna hanno dedicato ampie ricerche B. L. van der Waerden, A. Weil, O. Zariski ed altri. Anche se per ora i metodi ed i concetti dell'algebra moderna non hanno permesso di avvicinare la risoluzione dei più elevati problemi della geometria algebrica, è tuttavia probabile che nel prossimo avvenire l'algebra moderna possa contribuire efficacemente alla risoluzione di quei problemi di geometria algebrica, che meno si prestano ad essere trattati con i metodi sintetici della scuola italiana. In quest'ordine di idee va menzionato, ad es., il problema di trasformare birazionalmente ogni varietà algebrica in una totalmente priva di punti singolari. Tale problema, che i geometri algebristi avevano risoluto per le curve e le superficie, è stato appunto recentemente risoluto da O. Zariski per le varietà algebriche a tre dimensioni con i metodi dell'algebra moderna.

Quale applicazione della teoria delle algebre, in prosecuzione a classiche ricerche di G. Scorza, A. A. Albert ha potuto portare a fondo la classificazione delle cosiddette "matrici di Riemann", che si presentano nella teoria delle funzioni abeliane.

Bibl.: H. Hasse, Höhere Algebra, 2 voll., Berlino e Lipsia 1926, 1927; W. Krull, Idealtheorie, in Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, IV, n. 3, Berlino 1935; B. L. Van der Waerden, Moderne Algebra, I ed., 2 voll., Berlino 1931, II ed., 1937 e 1940; O. Ore, L'algèbre abstraite, Parigi 1936; A. A. Albert, Modern Higher Algebra, Chicago 1937; B. L. Van der Waerden, Einführung in die algebraische Geometrie, Berlino 1939; A. Weil, Foundations of algebraic geometry, New York 1946; P. Dubreil, Algèbre, I, Parigi 1946.

La teoria delle algebre.

Ha la sua origine nel problema della determinazione di tutti gli insiemi di enti astratti in cui possano essere formalmente definite le quattro operazioni dell'algebra, in modo che esse soddisfino a tutte, o quasi tutte, le proprietà di cui godono nel corpo dei numeri razionali. Come si comprende facilmente dall'impostazione del problema, la teoria delle algebre rientra pienamente nello schema assiomatico astratto della matematica moderna, ed è anzi quella branca ove i metodi assiomatici hanno avuto la massima possibilità di applicazione, ed hanno dato contributi veramente essenziali. Uno sviluppo decisivo della teoria delle algebre si è avuto dal 1930 in poi, per opera soprattutto della scuola americana (A. A. Albert, N. Jacobson, S. Mac Lane, O. F. G. Schilling), di quella tedesca (E. Artin, R. Brauer, M. Deuring, H. Hasse, E. Noether, F. K. Schmidt, E. Witt), e di altri ricercatori (K. Asano, C. Chevalley, A. Kurosch, O. Ore, T. Takagi). La teoria si è sviluppata sia in ampiezza (algebre senza base finita) sia in profondità (classificazione di algebre soddisfacenti a date condizioni, ovvero definite su corpi assegnati). Sono stati così messi in luce profondi legami fra la teoria delle algebre ed altre teorie algebriche, e da tali legami sia l'una, che le altre hanno tratto notevoli vantaggi.

Classificazione e struttura delle algebre. - Il problema della classificazione e della costruzione di tutte le possibili algebre definite sopra un dato corpo numerico ??? era già stato ridotto, in base ai primi importanti teoremi strutturali, alla risoluzione dei seguenti 3 problemi: 1) classificazione e costruzione di tutte le algebre semplici; 2) classificazione e costruzione di tutte le algebre pseudonulle; 3) ricerca di tutti i modi possibili di riunire un'algebra semplice con una pseudonulla, in modo da dare luogo ad una nuova algebra.

Per la definizione di algebra sopra un corpo ???, v. immaginario (XVIII, p. 883). Si ricordi che un'algebra si dice semplice se non possiede sub-algebre invarianti proprie (ossia diverse dall'algebra data, e dall'algebra costituita dal solo elemento 0); si dice pseudonulla se esiste un intero n tale che il prodotto di n elementi qualsiasi dell'algebra dia sempre 0. A norma del teorema di Wedderburn, si sa che, se si prescinde da quelle algebre che sono contemporaneamente semplici e pseudonulle, e la cui struttura è banale, le algebre semplici sono tutte e sole i prodotti diretti di un'algebra divisoria per una regolare, ove per algebra divisoria (o primitiva) si intende un'algebra dotata di modulo, ogni cui elemento non nullo possieda un inverso, mentre con algebra regolare si designa un'algebra isomorfa a quella costituita da tutte le matrici quadrate di un dato ordine, con elementti nel corpo ???.

I problemi 2 e 3 sono ancora lungi dall'essere risolti, mentre il problema 1 si è imposto maggiormente all'attenzione degli studiosi, e ha dato luogo ad una vasta teoria, che in alcuni casi permette di risolverlo completamente. Benché la soluzione di tale problema si riconduca immediatamente, come si è visto, alla classificazione delle algebre divisorie, tuttavia è più conveniente studiare le algebre semplici in blocco, in base alle seguenti considerazioni: il centro di un'algebra semplice U costituisce un corpo ???, ed è quindi lecito supporre che ??? sia proprio il corpo su cui U è definita; in tal caso U dicesi normale; fra le algebre normali si può introdurre la nozione di simiglianza, così definita: U dicesi simile a B se U e B sono isomorfe ai prodotti diretti di una stessa algebra divisoria per due algebre regolari. Rispetto alla relazione di simiglianza, che gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva, le algebre semplici normali sopra uno stesso corpo ??? possono esser distribuite in classi, ponendo U, B nella stessa classe (che si indicherà indifferentemente con {U} o {B}) se e solo se sono simili fra loro. Fra le classi sopra uno stesso corpo ??? si può definire l'operazione di prodotto, ponendo {U} {B} = {U × B} (× è il simbolo del prodotto diretto fra algebre), e si trova allora che le classi costituiscono un gruppo (il gruppo di Brauer) abeliano (cfr. voce gruppo), generalmente infinito, ogni cui elemento è periodico; l'identità del gruppo è la classe delle algebre regolari, e la struttura del gruppo non dipende che da ???. Non si sa, per ogni corpo ???, costruire tutte le algebre semplici normali su ???, ma si sa però costruirne una almeno per ogni classe del gruppo di Brauer; se tale algebra è quella divisoria contenuta nella classe, e soltanto in questo caso, il problema 1 si può dire risolto.

Il metodo per costruire un rappresentante di ogni classe del gruppo di Brauer è il seguente: dato ???, sia K un corpo che sia prolungamento normale di ??? (cfr. voce corpo), e sia G il gruppo (finito) di Galois di K sul ???; per ogni sostituzione σ di G, si indichi con z^σ il coniugato dell'elemento z di K che si ottiene applicando a K la sostituzione σ; si dimostra che si possono costruire delle algebre semplici U, normali su ???, contenenti K, e contenenti degli elementi u_σ (uno per ogni σ di G), tali che, qualunque sia l'elemento z di K si abbia z^σ = u_σ^-1 zu_σ. Le algebre così ottenute diconsi prodotti incrociati di K per G; il fatto essenziale è che in ogni classe del gruppo di Brauer su ??? è contenuto almeno un prodotto incrociato. Se K è ciclico su ???, ossia se G è un gruppo ciclico, i prodotti incrociati si chiamano anche algebre cicliche.

Se ??? è un corpo algebrico (ossia isomorfo ad un corpo costituito da numeri algebrici), ovvero un corpo di funzioni algebriche di una variabile con corpo delle costanti finito, allora vale il "teorema principale", che afferma che ogni algebra divisoria normale su ???, e quindi ogni algebra semplice normale su ???, è un'algebra ciclica. È chiaro che, essendo i corpi algebrici caratterizzati dalla validità, in essi, di certe proprietà aritmetiche, la struttura delle algebre su corpi algebrici, cui si riferisce il teorema principale, è intimamente collegata a proprietà "aritmetiche" delle algebre, che verrarno brevemente descritte nel paragrafo successivo.

Aritmetica nelle algebre. - Suppongasi che entro il corpo ??? vi sia un insieme g di elementi, da designarsi come interi, che si riproducono per somma e prodotto (e che quindi formano un anello), ma non, generalmente, per divisione. In g si può allora, sotto opportune limitazioni, sviluppare una aritmetica, che ha notevoli analogie con l'aritmetica dei numeri interi ordinarî; si può porre il problema: se U è un'algebra su ???, è possibile scegliere un anello u di U in cui sia possibile stabilire un'aritmetica ? La domanda ha risposta affermativa, ma l'analogia con l'aritmetica ordinaria diviene assai debole. Anzitutto è opportuno (ma non necessario) limitarsi al caso in cui U è semplice; il modo più naturale di definire degli interi in U è il seguente: un elemento a di U dicesi intero se soddisfa ad una equazione algebrica i cui coefficienti siano tutti interi di ??? (ossia elementi di g), ed in cui il coefficiente della massima potenza sia 1. La prima difficoltà contro cui si urta è costituita dal fatto che, con tale definizione, gli interi non costituiscono, in generale, un anello, poiché la somma, o il prodotto, di due interi può non essere un intero. Però vi sono in U degli anelli tutti costituiti da elementi interi; ogni tale anello, se soddisfa a certe altre condizioni, dicesi una schiera o un ordine; fra le schiere rivestono particolare importanza le schiere massime, che sono quelle non propriamente contenute in altre schiere. Nelle schiere massime si può costruire una aritmetica, che si discosta dall'aritmetica ordinaria soprattutto nei due punti seguenti, il primo dei quali si incontra già nei corpi (e dipende essenzialmente dalla non esistenza di un algoritmo euclideo delle divisioni successive), mentre il secondo è un fatto nuovo che dipende soltanto dalla non commutatività del prodotto: 1) le regole ordinarie della divisione e della scomposizione in fattori primi valgono non per la divisibilità fra elementi, ma per quella fra ideali; 2) affinché dette regole valgano indiscriminatamente, occorre prendere in considerazione non una schiera massima, ma tutte le schiere massime contemporaneamente.

Un ideale a di U è definito come un insieme di elementi di U tale che: 1) esiste una schiera massima u tale che se a, b sono elementi di a, u rispettivamente, allora ab è elemento di a; 2) a contiene un elemento non nullo di ???; 3) esiste un elemento μ =⃓ 0 di ??? tale che μ a è in u ogni qualvolta a è in a. Se a è un ideale, la schiera u che soddisfa alla 1, 3 è unica, ed è la schiera destra di a; si prova allora che esiste anche un'unica schiera sinistra u di a, che gode delle proprietà 1, 3, purché in 1 si scambi ab con ba. Si può definire una operazione di prodotto intrinseco fra ideali, in modo che l'insieme degli ideali viene a formare un gruppoide di Brandt (non è possibile ottenere un gruppo, se non limitandosi agli ideali bilateri, ossia che hanno per schiera, destra e sinistra, una stessa schiera prefissata). Alcune delle proprietà aritmetiche dei numeri primi trovano le analoghe negli ideali primi (definitì come ideali bilateri interi non fattorizzabili ulteriormente nel campo dei bilateri interi), mentre altre si trasportano agli ideali irriducibili (cioè: ideali interi, generalmente non bilateri, e non fattorizzabili ulteriormente nel campo degli ideali interi).

In analogia a quanto accade nei corpi numerici, si può fare corrispondere ad ogni ideale primo p di una schiera massima u una valutazione nel modo seguente: se a è un elemento di U, si indichi con (a) l'intersezione di tutti gli ideali bilateri di u ciascuno dei quali contiene a; (a) è un ideale bilatero, ed è quindi prodotto intrinseco di una potenza p^ρ di p per un ideale bilatero in cui p non entra come fattore primo; ρ dicesi il p-valore di a, in simboli ρ = ∣a∣_p; la valutazione così introdotta gode delle proprietà: ∣a + b∣_p ≥ min (∣a∣_p, ∣b∣_p), ∣ab∣_p ≥ ∣a∣_p + ∣b∣_p, ∣−a∣_p = ∣a∣_p. L'introduzione di una valutazione stabilisce in U, considerata come uno spazio di cui gli elementi sono i punti, una topologia (ed anzi una metrica; basta definire come distanza fra a e b il numero e^-∣b-a∣p), e permette di introdurre il concetto di limite di una successione; in generale U non è completo rispetto a tale topologia, ossia esistono successioni che soddisfano al criterio di Cauchy, ma non hanno un limite; aggiungendo ad U i limiti formali di tali successioni si ottiene uno spazio completo U_p, e si trova che anche U_p è un'algebra; le proprietà aritmetiche e strutturali di U_p sono più semplici di quelle di U. Ciò permette di risolvere problemi strutturali di U con due passi successivi: 1) risoluzione degli stessi problemi nelle algebre U_p; 2) ricerca dei legami fra le U_p ed U.

Il metodo esposto ha dato luogo ad applicazioni nella teoria dei corpi algebrici, ed ha anche fornito dimostrazioni algebriche di risultati che erano stati trovati per via trascendente.

D'altro canto, si è potuto estendere alle algebre una parte dell'aritmetica analitica; un gruppo di ricercatori ha dimostrato che si può definire in un'algebra semplice sopra un corpo algebrico, o sopra un corpo di funzioni algebriche di una variabile, con corpo delle costanti finito, una funzione analitica Z (s), che gode delle stesse proprietà della ζ (s) di Riemann (usata nello studio della distribuzione dei numeri primi), e che permette di gettare un po' di luce sul problema della determinazione del numero delle classi di ideali di un'algebra (due ideali diconsi appartenenti alla stessa classe, se il loro rapporto è un ideale principale della forma (a) precedentemente descritta).

Se il corpo ??? su cui U è definita è un corpo di funzioni algebripliato di una variabile, il gruppoide degli ideali di U può essere ampliato, in modo da ottenere il gruppoide dei divisori; tali divisori hanno un ufficio analogo a quello dei divisori del corpo delle funzioni razionali sopra una curva algebrica: si possono suddividere in classi (serie lineari), e fra il grado e la dimensione di una classe intercede una relazione che è l'analoga di quella espressa dal teorema di Riemann-Roch per una curva; si introduce così un nuovo invariante, detto genere, di un'algebra.

Bibl.: A. A. Albert, Structure of algebras, New York 1939; M. Deuring, Algebren, in Ergebnisse der Mathem., IV, I, Berlino 1937; N. Jacobson, The theory of rings, New York 1943.