ALGEBRA

ALGEBRA

(II, p. 421; App. II, I, p. 125; III, I, p. 61; IV, I, p. 83)

Negli ultimi dieci anni lo sviluppo dell'a. è stato molto vivace. Ai temi di ricerca già consolidati se ne sono aggiunti nuovi e ne sono stati riscoperti altri più antichi. In effetti lo sviluppo della scienza e della matematica in particolare è tale da rimescolare continuamente le varie discipline e i loro confini. Due spinte opposte contribuiscono a questi mutamenti: da una parte una sempre maggiore specializzazione della ricerca che porta a una successiva suddivisione e frammentazione dei campi di ricerca, alla creazione di riviste scientifiche sempre più specializzate e di convegni specialistici ormai incomprensibili ai non addetti ai lavori; dall'altra una coscienza sempre più chiara della natura interdisciplinare delle idee fondamentali, della fertilità degli scambi fra discipline apparentemente diverse e della possibilità di superare gli ostacoli apparentemente insormontabili di una singola disciplina ponendosi a volte al di fuori di questa e mutuando metodi e idee da altri settori di ricerca.

Per comprendere gli sviluppi recenti è opportuno ricordare che negli anni Sessanta e Settanta è stato portato a compimento il monumentale programma di A. Grothendieck che ha rivoluzionato i metodi della geometria algebrica introducendo il linguaggio degli schemi, con l'obiettivo, raggiunto dal suo allievo P. Deligne, di dimostrare le congetture di A. Weil.

Si tratta di profonde congetture di carattere aritmetico sulla natura delle funzioni zeta associate alle varietà sui campi finiti, analoghe all'ipotesi di Riemann (forse la congettura non risolta più famosa della matematica).

Il programma di Grothendieck aveva portato a grande sviluppo le ricerche di tipo astratto in a. commutativa, omologica e teoria delle categorie. Durante gli anni Settanta, in parte proprio per il successo di questo programma, ma anche in conseguenza di una invisibile ma complessa trasformazione in vari campi della matematica si è registrato un notevole spostamento di interessi sugli aspetti effettivi e computazionali dell'a. e una minore enfasi sugli aspetti astratti e fondazionali. D'altra parte, sempre in questo periodo, è stato ancora maggiore l'interesse per alcune applicazioni inattese a modelli di fisica delle particelle elementari e di meccanica statistica, di cui parleremo più dettagliatamente in seguito.

L'uso del calcolatore in algebra. − Lo sviluppo prodigioso delle macchine calcolatrici e la loro sempre maggiore disponibilità negli istituti universitari e di ricerca hanno fornito nuovi strumenti di lavoro in tutte le discipline scientifiche. In particolare in a. è stato possibile ampliare in modo notevole l'uso del calcolo simbolico. Le lunghe e complesse manipolazioni simboliche erano tipiche dell'a. del secolo scorso, in particolare in relazione alla teoria degli invarianti e della eliminazione. Questo approccio computazionale all'a. è stato in gran parte abbandonato in questo secolo per due ragioni: la prima è semplicemente la limitatezza umana nel portare avanti calcoli per decine o centinaia di pagine, la seconda viene dalla necessità di dare una struttura organica e concettuale a masse di informazioni sempre maggiori. L'introduzione del calcolo simbolico nei calcolatori elettronici ha essenzialmente spinto un poco più avanti i limiti di ciò che è effettivamente calcolabile e ha obbligato a una profonda revisione critica sui concetti stessi di effettività e calcolabilità. Di fatto gli algoritmi tipici del calcolo simbolico hanno complessità molto elevata, usualmente esponenziale o doppiamente esponenziale; questo implica in effetti che l'estensione del nostro potere di calcolo, fornita dai calcolatori, è minore di quanto ci si possa attendere.

Per quanto riguarda l'a. i primi utilizzi del calcolatore sono avvenuti in teoria dei gruppi finiti, per calcolare caratteri e verificare proprietà legate alla classificazione dei gruppi semplici. Successivamente si è riscontrato un grande interesse per alcuni algoritmi di a. commutativa legati alla teoria delle equazioni algebriche. Mi riferisco all'algoritmo di E. Berlekamp e a quello di B. Buchberger. Il primo algoritmo fornisce un metodo molto efficace per fattorizzare polinomi, in una o più variabili e a coefficienti razionali, in fattori irriducibili; il secondo invece trasforma un sistema di equazioni polinomiali in un altro equivalente ma messo in forma normale, assai simile alla forma a scala data dal metodo di eliminazione di Gauss per i sistemi di equazioni lineari. Questo algoritmo permette di costruire algoritmi effettivi per rispondere a varie domande tipiche della teoria delle equazioni, come per es. se un'equazione sia o no conseguenza di altre, se il sistema ammetta soluzioni ed eventualmente se esse siano finite.

Questi e altri algoritmi a essi connessi sono stati implementati su sistemi di calcolo simbolico a volte di dimensioni assai elevate, alcuni utilizzabili su personal computer, altri solo su macchine di prestazioni maggiori. Alcuni dei principali prodotti di questo tipo sono Macsyma, Scratchpad2, Cayley, Maple, Mathematica. Dato l'interesse anche tecnologico offerto da questi sistemi (che sono spesso dei veri e propri sistemi esperti), vi è una continua produzione di sistemi e programmi, basati su linguaggi e sistemi operativi diversi, così che è difficile seguire lo sviluppo di tutto quello che viene attualmente prodotto.

Un discorso a parte merita l'uso dell'a. nelle discipline informatiche: qui si può osservare un uso sempre più raffinato di teoremi e concetti della matematica pura e dell'a. in particolare nella teoria dei codici (costruzioni di codici a partire da strutture algebriche complesse, analisi dei codici con la teoria dei semigruppi), nella crittografia (uso delle curve elittiche, H. Lenstra), nella teoria delle reti e dei grafi (uso di grafi associati a gruppi aritmetici). Anche nella costruzione dei linguaggi di programmazione è evidente l'influenza dell'a. (del lambda-calcolo e dell'a. universale), specialmente per la programmazione di tipo logico ovvero simbolico (Lisp, Prolog).

Le aree di ricerca tradizionali. −Gli oggetti tradizionali della ricerca algebrica di questo secolo sono state varie strutture fra cui le principali sono anelli, corpi, algebre di Lie, gruppi e semigruppi, strutture combinatorie, e alcuni metodi: l'a. omologica, la K-teoria, la teoria delle rappresentazioni, ecc. Queste aree sono tuttora molto attive anche se in misura diversa; le analizzeremo singolarmente tentando di dare un'idea dei principali risultati ottenuti recentemente e delle attuali linee di tendenza.

Teoria dei gruppi. − Nella teoria dei gruppi è stato particolarmente importante il completamento della classificazione dei gruppi semplici, annunciata nel febbraio 1982, prodotto collettivo della ricerca di numerosi matematici in varie istituzioni.

Questo è uno dei pochi esempi di un teorema prodotto dal lavoro simultaneo e indipendente di numerosi matematici nessuno dei quali dominava completamente il lavoro degli altri.

I gruppi semplici si dividono in due grandi classi: i gruppi di tipo Lie e i gruppi sporadici. I gruppi di tipo Lie, al cui studio è stato fondamentale il contributo di C. Chevalley, sono costruiti definendo forme intere (poi ridotte in caratteristica finita) dei classici gruppi compatti classificati da W. Killing e E. Cartan all'inizio del secolo. I gruppi sporadici formano una lista di 26 gruppi dei quali i primi 5 scoperti alla fine del secolo scorso, mentre gli altri sono stati costruiti e descritti negli anni Sessanta e Settanta. Contemporaneamente a questo e successivamente vi è stato l'imponente lavoro di G. Lusztig che aveva come obiettivo il calcolo completo dei caratteri di tutti i gruppi semplici. In questo lavoro gli oggetti principali d'indagine non sono i gruppi sporadici, obiettivo principale del problema della classificazione, ma piuttosto i gruppi di Lie. Nel suo studio G. Lusztig ha fatto uso di numerosi strumenti molto raffinati, dalla geometria algebrica sui campi finiti alla teoria dell'omologia di intersezione ai D-moduli e ai ''fasci perversi'' (v. oltre).

Un oggetto assai interessante associato alla teoria di Lusztig sono le a. di Hecke. Tali a. sono generalizzazioni naturali delle a. di gruppo per alcuni speciali gruppi di Coxeter; la loro teoria ha avuto applicazioni esterne alla teoria dei caratteri ora menzionata, per es. tramite le congetture di Kazdhan-Lusztig risolte indipendentemente da Brylinski-Kashiwara e da Beilinson-Bernstein, che hanno influenzato in modo decisivo la teoria delle rappresentazioni di dimensione infinita dei gruppi di Lie. Inoltre sono state utilizzate anche in discipline esterne all'a., per es. nella teoria dei nodi (lavori di V. Jones) e nella meccanica statistica (a. di Temperly-Lieb).

Un altro aspetto molto interessante della teoria dei gruppi è costituito dalla teoria dei gruppi aritmetici e dalla loro connessione con numerosi problemi di teoria dei numeri. In questo campo i metodi sono più analitici e topologici che algebrici e quindi escono dalla nostra esposizione. Ci limiteremo a menzionare il programma di Bruhat-Tits sui gruppi definiti da B-N coppie e gli edifici. Questo programma si pone come obiettivo di costruire una teoria combinatoria, per alcuni gruppi simili ai gruppi di Lie ma di natura più aritmetica, che sostituisca la teoria degli spazi simmetrici nel caso reale.

Teoria degli anelli. − Nella teoria degli anelli e delle rappresentazioni, restringendoci solo agli aspetti algebrici e tralasciando quindi per es. tutti i grandi contributi alla teoria delle Ca., possiamo menzionare il grande interesse degli aspetti algebrici della teoria delle equazioni differenziali. In questo ambito i risultati più rilevanti sono stati la teoria di J. Bernstein sui moduli delle a. di operatori differenziali e sui fasci di tali operatori e la costruzione della corrispondenza di Riemann-Hilbert (Mekbout e Kashiwara-Kawai) fra alcuni speciali sistemi di equazioni differenziali (i sistemi olonomi a singolarità regolari) e alcuni oggetti di natura puramente topologica detti ''fasci perversi''.

Sempre nella teoria degli anelli dobbiamo menzionare gli importanti studi sulla teoria delle rappresentazioni delle a. di dimensione finita e dei quivers; questa teoria è iniziata con il fondamentale risultato di P. Gabriel per cui un grafo orientato con un numero finito di rappresentazioni indecomponibili è un diagramma di Dynkin e le dimensioni delle rappresentazioni indecomponibili sono date dalle espressioni delle radici positive in termini delle radici semplici. La teoria si è arricchita con lo studio dei quivers docili, dei quivers con relazioni e numerosi teoremi di struttura.

Un'altra classe di a. che è stata analizzata attentamente è quella delle a. inviluppanti alcune a. di Lie. In particolare è stata costruita una teoria assai precisa per le a. di Lie semisemplici, basata su considerazioni assai raffinate di geometria algebrica, topologia e sulla teoria dei D-moduli già menzionata.

Gli autori che hanno maggiormente contribuito allo sviluppo di questa teoria sono J. Dixmier, W. Borho, A. Joseph, J.L. Brylinski.

Algebra omologica. − Questo ramo dell'a. sembrava ormai essenzialmente esaurito, quando i lavori di A. Connes, D. Quillen e altri sulla omologia ciclica hanno riportato questo soggetto a nuova vita mostrando che esistevano strutture di complessi algebrici semplici e utili che non erano state investigate nei momenti di maggior sviluppo di questa disciplina.

L'omologia ciclica ha avuto varie applicazioni interessanti, in particolare nei lavori di Connes tesi a fondare una ''geometria non commutativa'' e nel lavoro di Tsygan e Loday-Quillen sul calcolo della coomologia delle a. di Lie di matrici (v. algebra omologica, in questa Appendice).

Algebre di Lie ristrette. −La classificazione delle a. di Lie semisemplici sui reali o sui complessi è stato uno dei grandi temi dell'a. alla fine del secolo scorso e all'inizio del presente. Una classificazione simile, nel caso di a. su campi di caratteristica positiva, sembrava fino a pochi anni fa un'impresa impossibile. Il lavoro di R. Block e R. Wilson ha fornito una risposta completa, per le cosiddette a. di Lie ristrette, dimostrando una congettura classica di Kostrikin e Shafarevich.

Razionalità e gruppo di Brauer. − Si tratta di un argomento di frontiera fra l'a., la geometria algebrica e la teoria dei numeri. Il legame fra la razionalità di un campo e la natura del gruppo di Brauer del campo medesimo è stato rilevato da tempo da vari autori. Recentemente D. Saltman ha sfruttato brillantemente questa relazione per dare un controesempio a un classico problema di razionalità. Si tratta di una congettura formulata da E. Noether: dato un gruppo di permutazioni su un insieme di variabili, è vero che il campo delle funzioni invarianti è razionale sul campo base?

Questa congettura ha una lunga storia essendo strettamente legata (in virtù di un classico teorema di irriducibilità di Hilbert) al problema dell'esistenza di campi di numeri con gruppo di Galois sui razionali arbitrario. Era noto da tempo che il problema ha una risposta negativa se il campo base non è algebricamente chiuso e Saltman ha trovato dei controesempi anche nel caso algebricamente chiuso. I lavori di D. Saltman sono stati estesi da F. Bogomolov, che ha da essi sviluppato una teoria generale.

Infine, sempre nell'ambito dei problemi di razionalità, si può menzionare il teorema di P. Katsylo che ha provato la razionalità degli invarianti delle forme binarie (problema classico).

K-teoria. − La K-teoria algebrica ha colto in questi anni alcuni frutti molto significativi; fra questi probabilmente quello più spettacolare è stato la soluzione di un classico problema sul gruppo di Brauer. A. Mercurijev e A. Suslin hanno dimostrato che il gruppo di Brauer di un campo qualsiasi è sempre generato da a. cicliche e hanno trovato le relazioni che intercorrono fra tali generatori nel linguaggio della K-teoria. Si tratta di profonde generalizzazioni di ricerche che hanno origine nella teoria dei numeri e del corpo di classe. Lo sviluppo di questa disciplina è anche testimoniato dalla pubblicazione di una nuova rivista specializzata dedicata esclusivamente a questo argomento.

Algebre di Lie di dimensione infinita, quantum groups. −Questo è stato uno dei campi di maggior interesse nell'a. degli ultimi anni, interesse motivato anche dalle numerose applicazioni di carattere interdisciplinare di questa teoria: a modelli di teorie quantistiche di campo (modello di Veneziano, di risonanza duale, modelli di stringhe), a soluzioni esplicite di sistemi dinamici non lineari completamente integrabili (equazioni di Korteweg-De Vries e loro generalizzazioni: KP, Boussineq, ecc.). La teoria è partita dai lavori (tra loro indipendenti) di V. Kac e R. Moody, i quali hanno costruito una classe notevole di a. di Lie di dimensione infinita modellate su matrici di Cartan generalizzate (come le a. di Lie semisemplici classiche sono modellate sulle matrici di Cartan ''finite'' associate ai diagrammi di Dynkin), che vengono usualmente chiamate ''a. di Kac-Moody''.

La teoria si è sviluppata principalmente intorno ai temi della teoria delle rappresentazioni di tipo speciale di tali a. (rappresentazioni con ''energia positiva'' nel linguaggio della fisica). Per alcune importanti classi di rappresentazioni V. Kac ha trovato una notevolissima formula del carattere, che estende in modo del tutto naturale la formula classica di H. Weyl per le rappresentazioni dei gruppi compatti. Le dimostrazioni sono di carattere squisitamente algebrico e sono basate sulla categoria dei moduli di Bernstein-Gelfand-Gelfand.

Questa teoria delle rappresentazioni si è arricchita notevolmente con l'introduzione di un'a. ausiliare di simmetrie: l'a. di Virasoro, introdotta nel 1970 dal fisico M. Virasoro. La costruzione con cui tale a. appare nella teoria delle a. di Kac-Moody è di nuovo suggerita dalla fisica ed è detta ''costruzione di Sugawara'' dal nome del fisico che l'ha introdotta.

La teoria delle rappresentazioni di quest'ultima a. è stata sviluppata da numerosi autori, fra cui in particolare B. Feigin e D. Fuchs, e costituisce un capitolo assai attraente della teoria delle rappresentazioni. Una delle scoperte notevoli in questo campo è stata quella del ruolo di alcune formule modulari rispetto a sottogruppi di congruenza del gruppo modulare nella teoria medesima. L'uso di tali forme modulari e di funzioni ϑ nell'espressione dei caratteri delle rappresentazioni ha portato alla scoperta di nuove identità notevoli e all'individuazione di nuove classi di rappresentazioni. Inoltre calcoli effettuati con elaboratori hanno messo in evidenza alcune misteriose connessioni fra rappresentazioni di dimensione infinita di a. di Lie e rappresentazioni irriducibili del gruppo semplice sporadico più complesso, il cosiddetto ''mostro'' di Fischer-Griess. Tali relazioni note scherzosamente come monster moonshine sono tuttora poco chiare nonostante i lavori di numerosi autori (J. Lepowsky, I. Frenkel, H. Garland).

Come abbiamo già accennato, la teoria delle a. di Kac-Moody ha trovato inattese applicazioni alla teoria delle equazioni non lineari. Si tratta di una serie di idee dovute in gran parte al matematico giapponese M. Sato e alla sua scuola (M. Jimbo, T. Miwa, E. Date e altri); la teoria parte da un particolare formalismo suggerito dalla teoria classica di Dirac e dallo spazio di Fock (seconda quantizzazione), formulato però con il linguaggio della geometria di un'opportuna grassmanniana infinita. Un algoritmo suggerito di nuovo dalla fisica: la corrispondenza bosoni-fermioni permette di tradurre le equazioni quadratiche classiche soddisfatte dalle coordinate plückeriane (formulate però per una grassmanniana infinita) nelle equazioni KP. Queste idee, sviluppate ampiamente da G. Segal, G. Wilson e A. Pressley con la teoria dei loop groups, hanno contribuito alla soluzione di un problema classico, il ''problema di Schottky'' nella formula data da Novikov. Tale soluzione è stata ottenuta indipendentemente dal matematico giapponese Shiota e dagli italiani E. Arbarello e C. De Concini. Accenniamo infine alla teoria dei quantum groups introdotti dalla scuola sovietica (J. Drinfel'd, Y. Manin). Si tratta di una generalizzazione non commutativa delle a. di Hopf associate ai gruppi algebrici. Queste strutture, suggerite in parte da modelli di meccanica quantistica, posseggono una teoria delle rappresentazioni piuttosto interessante (G. Lusztig, V. Ginzburg, A. Beilinson).

Teoria degli invarianti. −La teoria classica degli invarianti è rimasta in uno stato quasi pietrificato dopo i grandi lavori di Hilbert del secolo scorso e alcuni contributi isolati successivi. Questo è avvenuto per svariate ragioni, tra cui lo sviluppo dell'a. commutativa e l'interesse preminente per la teoria delle rappresentazioni. Negli ultimi anni si è assistito a un rifiorire di interesse su questo argomento classico, in parte grazie ai lavori di Grothendieck, Mumford e numerosi altri sulla teoria dei moduli delle varietà algebriche (teoria della stabilità di D. Mumford), in parte per l'interesse ad applicare metodi geometrici sia alla teoria delle rappresentazioni, sia alla classificazione delle orbite e allo studio della loro geometria (V. Kac, E. Vinberg, B. Kostant, H. Kraft, C. Procesi, G. Schwarz), sia allo studio delle rappresentazioni speciali (come per es. nella teoria dei quivers precedentemente menzionata), in parte infine grazie alla riscoperta di metodi combinatori in questa teoria (tableaux di Young e monomi standard nei lavori di G. C. Rota, A. Lascoux, M. Schutzenberger, C. De Concini, C. Procesi, C. S. Seshadri e altri) e così pure quale logica conseguenza del generale rinnovato interesse per molta matematica dell'Ottocento immeritatamente dimenticata (per es. T. A. Springer).

Oltre agli argomenti già accennati, uno dei teoremi generali più interessanti, che completa la teoria di Hilbert, è il teorema di M. Hochster e J. Roberts (il quale asserisce che gli anelli di invarianti hanno la proprietà di Cohen-Macaulay) unitamente alla sua generalizzazione, operata da J. Boutot, sulla natura razionale delle loro singolarità.

Algebra, geometria e teoria dei numeri. −Come ho già osservato in precedenza, la separazione fra le varie discipline matematiche non è molto netta. In particolare metodi essenzialmente algebrici sono assai comuni in geometria (specialmente nella geometria algebrica) e nella teoria dei numeri, nella quale uno dei più importanti e recenti risultati ha una trattazione molto algebrica. Si tratta della dimostrazione data da G. Faltings della famosa congettura di Mordell. Tale congettura afferma in sostanza che un'equazione polinomiale in due variabili a coefficienti interi ammette solo un numero finito di soluzioni intere (purché la curva algebrica che essa rappresenta non sia troppo speciale, in questo caso non sia di genere 0 oppure 1). Questo teorema, insieme ad altri importanti risultati recenti, ha portato di nuovo a un grande interesse per l'aritmetica. Le ricerche in questo campo sono fra le più complesse in matematica e in questo momento sono molto promettenti, per es. vi sono state nuove e profonde idee per trattare il famoso ''ultimo teorema di Fermat''; queste idee, anche se non hanno ancora portato ad alcun risultato conclusivo, hanno riacceso l'interesse sul problema.

In conclusione si può dire che l'a. attuale si trova in una fase di sviluppo assai rapido e di profonda trasformazione, collegandosi sempre più ad altre discipline della matematica e della fisica, dalle quali trae ispirazione per la costruzione di nuove strutture e a cui fornisce dei modelli, spesso molto espressivi e potenti.

Bibl.: A. Grothendieck, J. Dieudonné, Eléments de Géométrie algébrique, Vienna 1971; R. Carter, Simple groups of Lie type, Londra-New York 1972; J. Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory, Vienna 1972; J. Dixmier, Enveloping algebras, Amsterdam-New York 1977; T. A. Springer, Invariant theory, in Springer Lecture Notes, 585, Utrecht 1977; B. Buchberger e altri, Computer algebra, Londra-New York 1982; D. Gorenstein, Finite simple groups, New York 1982; Id., The classification of finite simple groups, ivi 1983; G. Lusztig, Characters of reductive groups over finite fields, Princeton 1984; V. Kac, Infinite dimensional Lie algebras, Cambridge 1985; G. Segal, G. Wilson, Loop groups and equations of KvV type, Publications Mathématiques, J.H.E.S. 61 (1985); A. Pressley, G. Segal, Loop groups, Oxford 1986; A. Borel, Algebraic D-Modules, Boston 1987.