algebre di von Neumann
algebre di von Neumann
Un’algebra di von Neumann C è una sotto-algebra involutiva dell’algebra B(ℋ) degli operatori lineari limitati (ovvero continui) su uno spazio di Hilbert ℋ (con prodotto scalare (∙,∙) che induce una norma ∣∣∙∣∣) verificante una delle proprietà che seguono: (a) contiene l’operatore identità ed è un insieme chiuso rispetto alla convergenza forte: sia Aν una successione in C e sia B tale che per ogni x in ℋ Lim∣∣Aν−Bx∣∣=0; allora B appartiene a C; (b) contiene l’operatore identità ed è un insieme chiuso rispetto alla convergenza debole: sia Aν una successione in C e sia B tale che per ogni x,y in ℋ lim(y,Aν−Bx)=0; allora B appartiene a C; (c) C coincide con il suo bicommutante (il commutante di un sottoinsieme S di B(ℋ) è l’insieme dei B in B(ℋ) che commutano con tutti gli elementi di S, il bicommutante è il commutante del commutante). Notiamo che dalle condizioni (a), (b) segue che le algebre di von Neumann sono sottoalgebre chiuse nella norma indotta dalla C*-algebra B(ℋ) e sono dunque C*-algebre esse stesse. L’equivalenza di (a), (b) e (c) è conosciuta come teorema di von Neumann: essa lega proprietà topologiche (convergenza) e algebriche. È possibile dare una definizione più astratta, dovuta a Jacques Dixmier e Shoikiro Sakai: un’algebra di von Neumann è una C*-algebra che, come spazio normato, è il duale di uno spazio di Banach. Le algebre di von Neumann, proprio come le C*-algebre, possono essere viste come spazi di misura non commutativi e il loro studio come una teoria della misura su spazi non commutativi. Esso fa sistematicamente uso di funzionali lineari non limitati, da considerarsi gli analoghi di misure σ-finite, chiamati pesi e tracce. Una traccia tr(∙) su un’algebra di von Neumann C, in particolare, è un funzionale lineare positivo, definito su un sottoinsieme denso ✄ di C e tale che tr(AB)=tr(BA) per ogni A,B in ✄. A partire dalle tracce, gli iniziatori della teoria Francis J. Murray e John von Neuman, hanno classificato queste algebre in tre tipi: tipo I o discrete, tipo II o continue (algebre non discrete ma dotate di un numero ‘sufficiente’ di tracce), tipo III (algebre che non possiedono tracce). Successivamente Alain Connes ha fornito una descrizione completa e dettagliata delle algebre di tipo III.xx
→ Geometria non commutativa