ALGEBRICO
ALGEBRICO
. L'aggettivo "algebrico" viene impiegato in matematica in varî sensi, secondo gli oggetti a cui è riferito. Nel senso lato si dice qualche volta, nella teoria delle equazioni differenziali, che una o più incognite sono determinabili algebricamente, quando possono ricavarsi con operazioni di eliminazione da espressioni note, senza bisogno di quadrature, o, più generalmente, risparmiando l'integrazione di qualche sistema differenziale (p. es., l'integrale singolare di un'equazione differenziale ordinaria del 1° ordine). In senso stretto l'aggettivo "algebrico" si usa nei casi seguenti:
Equazione algebrica. - È l'equazione che si ottiene uguagliando a zero un polinomio f(x) = 0. Se è n il grado del polinomio, l'equazione ha precisamente n radici (v. algebra).
Numero algebrico. - È una radice di un'equazione algebrica f(x) = 0, i cui coefficienti sono tutti numeri razionali. Se l'equazione a cui soddisfa il numero algebrico a è irriducibile nel campo dei numeri razionali, e di grado n, esisteranno altri n - 1 numeri algebrici, oltre a, che soddisfano all'equazione, e che si dicono i coniugati di a. Un numero algebrico si dice intero quando è radice di un'equazione a coefficienti interi col primo coefficiente uguale a 1. Poiché la somma, la differenza, il prodotto e il quoziente di numeri algebrici è ancora un numero algebrico, e inoltre la somma, la differenza e il prodotto di numeri algebrici interi è un intero, si può costruire pei numeri algebrici un'aritmetica in tutto simile a quella degli ordinarî numeri razionali (v. aritmetica).
Benché si possa pensare, a prima vista, che l'insieme di tutti i numeri algebrici, cioè di tutte le radici delle equazioni, di qualunque grado, con coefficienti razionali, sia molto più vasto dell'insieme dei numeri razionali, si può però dimostrare facilmente che esso è un insieme numerabile.
Oltre i numeri algebrici, esistono dunque altri numeri, anche nel solo campo dei numeri reali (che non è numerabile), che non sono algebrici, e si dicono perciò, in contrapposto, trascendenti. A questi numeri non si può cioè pervenire dal campo dei numeri razionali mediante estrazioni di radici in numero finito, e nemmeno, più generalmente, mediante risoluzione di equazioni algebriche che hanno i coefficienti in quel campo. Esempî di numeri trascendenti molto importanti sono il numero π, rapporto della circonferenza al diametro (a ciò si riconnette l'impossibilità della quadratura del cerchio con riga e compasso, v. cerchio) e il numero e =
base dei logaritmi naturali (v. esponenziale). Tra questi due numeri trascendenti sussiste però la relazione eiπ = −1.
Curva e funzione algebrica. - Si dice curva algebrica piana d'ordine n l'insieme di tutti i punti del piano, le cui coordinate cartesiane x,y (reali o complesse) soddisfano a un'equazione del tipo f (x, y) = o, essendo f(x, y) un polinomio di grado n nelle due variabili x e y (per la definizione di curva algebrica nello spazio, e di superficie algebrica, v. curva, superficie). Se si suppone il polinomio f (x, y) irriducibile, l'equazione f (x, y) = 0 definisce una funzione implicita y = y (x), che la soddisfa identicamente. Questa funzione implicita y (x), in generale polidroma (a più valori), si dice una funzione algebrica; se la y compare nell'equazione solo al 1° grado, la funzione algebrica y (x), da essa definita, è in particolare una funzione razionale. La funzione algebrica y (x) si può caratterizzare come funzione polidroma della variabile complessa x, dotata di un numero finito di rami ed avente come punti singolari soltanto dei poli e dei punti di diramazione. Lo studio di tutte le curve e superficie algebriche costituisce lo scopo della geometria algebrica.
Geometria algebrica. - Questo importantissimo ramo delle matematiche moderne, che ha avuto, specialmente in Italia, un fiorente sviluppo negli ultimi decennî, studia, come abbiamo detto, le proprietà delle curve e superficie algebriche e, più generalmente, delle cosiddette varietà algebriche di uno spazio a un numero qualunque r di dimensioni. Per varietà algebrica di uno spazio a r dimensioni s'intende l'insieme di tutti i sistemi di soluzioni, comuni a un certo numero k di equazioni algebriche, ottenute coll'eguagliare a zero k polinomî in r variabili. In un certo senso si può quindi affermare che l'oggetto della geometria algebrica non è altro che lo studio della teoria generale dei sistemi di equazioni algebriche (di qualunque grado) fatto da un punto di vista prevalentemente geometrico, studio che nei suoi procedimenti trae spesso l'ispirazione e il linguaggio più sintetico dalla comune intuizione geometrica delle figure.