Analisi non lineare: metodi variazionali

tra le funzioni u: Ω→ℝ regolari che assumono sul bordo ∂Ω un assegnato valore h(x,y), la corrispondente equazione di Euler-Lagrange è l'equazione di Laplace u_xx+u_yy=0 con le condizioni al contorno u(x,y)=h(x,y) per (x,y)∈∂Ω.

Questa equazione è ora considerata banale ma non era affatto tale per i matematici del tempo (parliamo degli anni a cavallo tra l'Ottocento e il Novecento), che avevano elaborato dei procedimenti risolutivi solo in casi molto particolari.

I metodi diretti nel calcolodelle variazioni

Nello studio di un certo problema si cerca spesso di affinare tecniche collaudate, usando mezzi sempre più sofisticati. Di norma si prosegue in questo modo fino a quando non insorgono difficoltà insormontabili: a questo punto è necessario un salto di qualità, per affrontare il problema in modo totalmente originale.

Per superare le difficoltà cui si è accenato nella sezione precedente era necessario un contributo nuovo furono David Hilbert e, in Italia, Leonida Tonelli a darlo. Invece di cercare di risolvere l'equazione di Euler-Lagrange essi affrontarono direttamente (da qui il nome di metodi diretti) il problema dell'esistenza del minimo di un funzionale T del tipo [1].

In breve, il procedimento seguito si basa sui seguenti passi.

1) Esistenza del minimo. Si considera il problema di minimo in una opportuna classe C∼ più ampia di quella naturale, nel senso che contiene anche funzioni meno regolari di quelle di C. La scelta di C∼ va fatta in modo che abbia ancora senso il funzionale T e che si possa provare, sotto opportune ipotesi sulla lagrangiana L, che T ammette minimo in C∼.

2) Forma debole della equazione. Detto z tale minimo, si mostra che esso verifica, in una forma 'debole', l'equazione di Euler-Lagrange.

3) Regolarizzazione. Si prova che z appartiene effettivamente a C ed è una soluzione di EL in senso classico.

Per illustrare il procedimento descritto sopra, consideriamo il caso in cui T ha la forma [1]. Per evitare questioni tecniche, supporremo che L sia di classe C¹.

Qui si può prendere C∼ come la classe delle funzioni assolutamente continue in [a,b] verificanti le condizioni al contorno u(a)=α, u(b)=β. È noto che le funzioni assolutamente continue sono derivabili quasi ovunque (rispetto alla misura di Lebesgue) e quindi ha senso considerare il funzionale T. Supponendo, per esempio, che L sia convessa in u′ e verifichi

[13] L(x,u,u′)≥c₁∣u′∣²−c₂ c₁,c₂>0

è possibile mostrare che T ha minimo z∈C∼ (in questo passaggio gioca un ruolo determinante il concetto di semicontinuità introdotto da Tonelli) e che z verifica

[14] formula

per ogni v assolutamente continua in [a,b] e tale che v(a)=v(b)=0. Questa è la forma debole dell'equazione [3] e z viene appunto detta soluzione debole.

Infine si dimostra, sotto qualche ulteriore restrizione sulla L, che z è di classe C¹ e verifica la [3].

I risultati di Hilbert e Tonelli hanno dato un nuovo grande impulso alla ricerca nel calcolo delle variazioni. Ricordiamo il problema di determinare condizioni generali per la semicontinuità di T, anche nel caso vettoriale [7] o di integrali multipli [8], e il problema della regolarità, sul quale vanno ricordati i celebri teoremi di Ennio De Giorgi e John Nash.

Minimi e punti sella

Le ricerche di Hilbert e Tonelli ebbero un grande impatto anche nell'analisi nonlineare, anche se alcuni problemi tipicamente nonlineari erano già stati affrontati agli inizi del novecento da Aleksandr M. Liapunov e da Henri Poincaré nell'ambito della teoria della biforcazione.

I metodi diretti aprono infatti nuove prospettive per la ricerca nei problemi nonlineari di tipo variazionale poiché, come abbiamo già osservato, non solo i minimi ma tutti i punti critici di T sono soluzioni della equazione di Euler-Lagrange. E vi sono molti casi importanti in cui T non ha minimo, ovvero il minimo esiste ma dà origine a una soluzione banale, mentre le soluzioni non-banali sono dei punti sella di T. Oppure può accadere che sia naturale aspettarsi molte soluzioni della equazione di Euler-Lagrange, derivanti da molti punti critici di T. Per esempio, consideriamo il problema al contorno

[15] u″+λu+u³=0

       x∈(a,b) u(0)=u(π)=0

fig. 1

Il problema [15] è l'equazione di Euler-Lagrange del funzionale

[16] formula

definito sullo spazio di Sobolev H=H₀^1,2(a,b), che coincide con lo spazio delle funzioni assolutamente continue in (a,b) tali che u(a)=u(b)=0. Si ha che inf_HT(u)=−∞ e sup_HT(u)=+∞. Infatti, fissata una qualunque u- ≢0 si ha

[17] formula

e questo implica che T(su)→−∞ per ∣s∣→∞. Inoltre, se prediamo per λ fissato una successione u_λ,k di soluzioni della [15], è facile verificare che T(u_λ,k)→+∞ per k→∞.

Un'analisi spettrale un po' più complicata mostrerebbe che nessuna di queste soluzioni è di minimo, nemmeno locale, fatta eccezione per la soluzione banale u=0 per λ〈1.

L'esempio riportato sopra è il prototipo di molti problemi variazionali nei quali non ci si può limitare alla ricerca del minimo di un funzionale ma occorre studiare l'esistenza di punti critici più generali, che saranno in generale dei punti di sella. Questo è l'obiettivo della teoria dei punti critici, che ha avuto un enorme sviluppo negli ultimi cento anni e attualmente rappresenta uno dei filoni di ricerca più attivi nell'analisi matematica.

Esistenza di punti sella

Inizieremo a esporre la teoria dei punti critici considerando il caso di un funzionale f in dimensione finita.

Sia M⊂ℝⁿ una varietà definita dall'equazione g(x)=0, dove g: ℝⁿ→ℝ è una funzione regolare e tale che ∇g(x)≠0 per ogni x∈M. Data f: ℝⁿ→ℝ, vogliamo studiare l'esistenza dei punti critici di f vincolati su M, cioè degli x∈M tali che esiste λ∈ℝ per cui ∇f(x)=λ∇g(x) (metodo dei moltiplicatori di Lagrange). Se indichiamo con ∇_Mf(x) il gradiente vincolato di f su M, definito come la proiezione di ∇f(x) sul piano tangente a M in x, si ha

[18] formula.

Possiamo allora anche dire che i punti critici di f vincolati su M sono gli x tali che ∇_Mf(x)=0.

Un ruolo fondamentale per trovare tali punti è giocato dalle deformazioni. Se A è un sottoinsieme di M e η∈C(A,M), diremo che η è una deformazione (di A in M) se η è omotopa all'identità, cioè se esiste una omotopia h∈C([0,1]×A,M) tale che h(0,x)=x e h(1,x)=η(x), per ogni x∈A.

Per costruire deformazioni possiamo usare il flusso gradiente, cioè la soluzione ϕ(t,p)=ϕ_p(t) del problema di Cauchy

[19] formula.

Se M è compatta, ϕ è definita per ogni t≥0 e ϕ_p(t)∈M per ogni t≥0 e p∈M. Ovviamente, per ogni t_ fissato l'applicazione p→ϕ(t_,p) è una deformazione. Inoltre se calcoliamo f lungo una soluzione di [19] troviamo

[20] formula.

Poiché ϕ verifica [19], si deduce

[21] formula.

Quindi f è non crescente lungo il flusso gradiente e anzi se per t∈[0,t_] ϕ_p(t) non incontra punti critici di f esiste c>0 tale che ∣∇_Mf(ϕ_p(t))∣²≥c e quindi f(ϕ_p(t_))≤f(p)−c. Da questo si può dedurre un lemma di deformazione:

Se M è compatta e nella striscia {x∈M tali che a≤f(x)≤b} non ci sono punti critici di f su M, allora il sottolivello M^b={x∈M tali che f(x)≤b} può essere deformato nel sottolivello M^a.

È evidente che se M^b è deformabile in M^a i due sottolivelli hanno le stesse proprietà topologiche (per es., sono entrambi omeomorfi a uno stesso insieme di M). Allora dal lemma di deformazione possiamo dedurre un primo criterio generale per l'esistenza di punti critici:

Se M^b è topologicamente differente da M^a, allora nella striscia {x∈M tali che a≤f(x)≤b} c'è almeno un punto critico.

Più in generale si dimostra:

Sia Γ una classe di sottoinsiemi di M stabili per deformazioni. Allora, posto

[22] formula,

esiste un punto critico x*∈M tale che f(x*)=c.

fig. 2

fig. 3

M^b è topologicamente equivalente a un cilindro mentre M^a è equivalente a un disco. Poiché il cilindro non è topologicamente equivalente al disco, M^b non può essere deformato in M^a e quindi deve esserci un livello tra a e b che contiene un punto critico. Questo livello è c₂ (fig. 2) e può essere ottenuto con il procedimento di min-max descritto prima: è sufficiente prendere come Γ la classe dei sottoinsiemi di M che non sono contraibili a un punto in M. Analogamente, preso a′〈c₁ si ha M^a′=→ e perciò deve esserci un livello critico al di sotto di a: questo è il livello di minimo c₁. In modo simile si ottiene il livello di massimo c₄. Per trovare c₃ occorrerebbe fare un max-min, invece di un min-max. In generale, si può dimostrare che una generica funzione regolare f ha sul toro almeno tre punti critici: il massimo e il minimo assoluti e un punto sella che si trova con un min-max. Inoltre esistono funzioni che hanno esattamente tre punti critici sul toro.

Sviluppando queste tecniche si possono ottenere risultati molto interessanti e di grande eleganza. Ci limitiamo a citare un risultato di Lazar Lusternik e Lev Schnirelman secondo cui ogni funzione regolare e pari ha almeno n coppie di punti critici sulla sfera unitaria di ℝⁿ.

La teoria di Morse

La teoria di Morse (da Marston Morse, che la ideò) è un metodo brillante e preciso per trovare i punti critici di un funzionale f di classe C² su una varietà M mediante proprietà topologiche di M. Esso richiede che f abbia solo punti critici p non degeneri, cioè tali che la matrice hessiana D²f_M(p) di f ristretta a M sia invertible. Una f con tale proprietà è chiamata funzione di Morse.

Se p è un punto critico non degenere, il suo indice di Morse è, per definizione, la dimensione del sottospazio di ℝⁿ dove la matrice D²f_M(p) è definita negativa. Se k è l'indice di p si può provare che in un intorno di p esiste un sistema di coordinate (y₁,…,y_n) tale che, rispetto a queste coordinate, si ha

[23] f(y)=f(p)−y₁²−…−y_k²+y²_k+1+…+y_n².

È questo il celebre lemma di Morse. Esso descrive in modo preciso la struttura dei sottolivelli M^c, per c vicino a f(p), e permette di ottenere mediante delle deformazioni opportune le diseguaglianze di Morse. Per enunciarle, occorre far uso dei gruppi di omologia singolare H_k(M).

Posto β_k=Rank(H_k(M)) (numeri di Betti di M) e indicato con C_k il numero di punti critici di f su M di indice k, si ottengono le diseguaglianze di Morse

[24] formula.

Per esempio, i numeri di Betti del toro in ℝ² sono β₀=1, β₁=2, β₂=1. Si può dedurre che ogni funzione di Morse ha 4 punti critici sul toro, uno di indice 0 (il minimo assoluto), uno di indice 2 (il massimo assoluto) e due punti sella di indice 1. È chiaro come questo risultato sia più preciso di quello visto prima (infatti ora siamo in grado di trovare simultaneamente sia p₁ che p₂). Naturalmente, occorre supporre che f sia di Morse: si possono altrimenti costruire delle funzioni che hanno solo 3 punti critici sul toro in ℝ². Inoltre, indicata con χ(M)=∑_j(−1)^jβ_j(M) la caratteristica di Euler-Poincaré di M, si trova

[25] formula.

Osserviamo come le diseguaglianze di Morse e la formula [25] possano essere usate anche in senso inverso, cioè per valutare i numeri di Betti o per calcolare la caratteristica di Euler-Poincaré di una varietà. Basterà costruire una opportuna funzione di Morse di cui si conoscono i punti critici, e quindi i numeri C_k. Se per esempio nel caso del toro prendiamo f(x,y,z)=z si ha C₀=1, C₁=2 e C₂=1. Usando le diseguaglianze di Morse si ricavano i numeri di Betti, mentre la [25] permette di calcolare la caratteristica di Euler-Poincaré: χ(M)=1−2+1=0.

Il caso non compatto

Nelle sezioni precedenti abbiamo sempre supposto che M sia compatta ma è naturale chiedersi cosa si può ottenere nel caso non compatto. Per semplicità considereremo il caso M=ℝⁿ: il seguente esempio elementare mostra come i risultati ottenuti sopra non siano più validi. Consideriamo la funzione f : ℝ→ℝ, definita ponendo f(x)=(1+x²)⁻¹. Prendendo a〈0〈b〈1 si ha che M^b=(−∞,−β]∪[β,+∞), dove β soddisfa (1+β²)⁻¹=b, mentre M^a=→.

Ma, sebbene M^b non sia topologicamente equivalente a M^a, f non ha punti critici a livelli minori di 1.

Una condizione che sostituisce la compattezza e permette di riottenere il lemma di deformazione è la seguente, introdotta da Richard S. Palais e Steven Smale (PS_c): ogni succesione tale che f(x_k)→c e ∇f(x_k)→0 ha una sottosuccessione convergente x_k→p.

Naturalmente, p è un punto critico per f. In pratica basterà provare che ogni successione per cui f(x_k)→c e ∇f(x_k)→0 è limitata. Nell'esempio precedente la condizione PS_c non è verificata al livello c=0.

Nel caso non compatto è anche naturale considerare funzionali indefiniti, cioè tali che inf_ℝnf=−∞ e sup_ℝnf=+∞. La situazione che vogliamo affrontare è quella in cui f ha un minimo locale, per esempio in x=0. Possiamo pensare a un punto sul fondo di una valle circondata da montagne, dalla quale vogliamo uscire attraverso un passo montano. Per ogni percorso che parte da x=0 e finisce fuori dalla valle, sceglieremo quello per cui il massimo di f(γ(t)) è il più piccolo possibile. Per formalizzare questo discorso, supponiamo che esistano r,α>0 tali che:

1) f(x)≥α per ogni x∈ℝⁿ tale che ∣x∣=r.

2) Esiste x₁∈ℝⁿ tale che ∣x₁∣>r e f(x₁)〈α.

Consideriamo la classe Γ delle curve γ: [0,1]→ℝⁿ tali che γ(0)=0 e γ(1)=x₁ e mediante Γ definiamo il livello

[26] formula.

Si può dimostrare che, se vale la condizione PS_c, allora c è un livello critico per f e cioè esiste p∈ℝⁿ tale che f(p)=c e ∇f(p)=0. Per escludere che il punto trovato sia 0, osserviamo che se γ∈Γ parte da x=0 e termina in x₁, con ∣x₁∣>r, tale cammino interseca la sfera ∣x∣=r in un punto z_γ. Allora, tenuto conto della (1), si avrà che

[27] formula.

Poiché questa diseguaglianza è valida per ogni γ∈Γ, si deduce che c≥α>0 e quindi p non coincide col punto critico banale x=0. In conclusione, si ha:

Se f verifica (1) e (2) e se vale la PS_c, con c dato da [26], allora f ha un punto critico p≠0 tale che f(p)=c.

Questa è la versione finito dimensionale di un risultato più generale (si veda anche la sezione seguente). Il punto p viene chiamato punto di passo montano.

Si può anche dimostrare che se p è non degenere, allora è un punto sella con indice di Morse uguale a 1.

Il seguente esempio in ℝ² mostra che l'ipotesi di compattezza, cioè la validità della PS_c, non può essere eliminata. Per (x,y)∈ℝ², poniamo f(x,y)=x²+(1−x)³y². È facile verificare che la condizione (1) è soddisfatta con r=1/2 e α=1/32 . Inoltre, se prendiamo il punto (2,2) si ha che f(2,2)=0 e quindi vale anche (2). Tuttavia, l'unico punto critico di f è l'origine: ∇f=0 diventa infatti il sistema

[28] formula

il quale ha solo la soluzione (x,y)=(0,0) come si vede immediatamente. Il lettore può verificare che in questo caso c=1 ma la condizione PS_c al livello c=1 non è soddisfatta.

La teoria dei punti critici negli spazi funzionali

Come abbiamo osservato, i problemi variazionali hanno come incognita una funzione e quindi sono ambientati in modo naturale negli spazi funzionali. Occorre perciò estendere i risultati esposti nel paragrafo precedente a questi spazi. La differenza principale rispetto al caso euclideo è che si tratta di spazi di dimensione infinita.

Per maggiore semplicità, tratteremo un caso particolare ma significativo. Consideriamo uno spazio vettoriale H dove è definito un prodotto scalare (u∣v), che induce una norma ∣∣u∣∣²=(u∣u). A sua volta la norma permette di definire in modo naturale una distanza d ponendo d(u,v)=∣∣u−v∣∣, alla quale corrisponde una nozione di convergenza: u_n→u se e solo se ∣∣u_n−u∣∣→0. Se H è completo rispetto a questa convergenza è detto spazio di Hilbert. Per esempio, se Ω è un aperto limitato di ℝⁿ lo spazio L²(Ω) delle funzioni a quadrato sommabile (secondo Lebesgue) in Ω è uno spazio di Hilbert rispetto al prodotto scalare (u∣v)=∫_Ωu(x)v(x)dx.

Un funzionale su H è una applicazione J: H→ℝ (J potrebbe anche essere definito su un sottoinsieme di H, ma qui non considereremo questo caso). Dato u∈H, diremo che J è differenziabile in u se esiste un elemento di H, che indicheremo col simbolo ∇J(u), tale che

[29] formula.

∇J(u) è il gradiente di J. Se H=ℝⁿ, ∇J è l'usuale vettore gradiente le cui componenti sono le derivate parziali di J.

Se J è differenziabile, un punto critico di J è uno z∈H tale che ∇J(z)=0, cioè (∇J(z)∣v)=0 per ogni v∈H. In generale, i punti critici di un funzionale J su uno spazio di Hilbert H verificano l'equazione (∇J(u)∣v)=0 per ogni v∈H, che è in pratica la forma debole della equazione di Euler-Lagrange.

Vediamo con un esempio quale è il procedimento che viene usualmente seguito. Dati un aperto limitato Ω⊂ℝⁿ e una funzione ψ: Ω×ℝ→ℝ, consideriamo il problema di Dirichlet nonlineare

[30] formula,

dove Δ=∑∂²/∂x_i² è l'operatore di Laplace in ℝⁿ. Il corrispondente funzionale è dato da

[31] formula.

Ovviamente, è nella forma ∫_ΩL(x,u,∇u)dx con L=∣∇u∣²/2−Ψ(x,u). Lo spazio naturale su cui cercare i punti critici di J è lo spazio di Sobolev H=W₀^1,2(Ω) delle funzioni u∈L²(Ω) che hanno derivate, nel senso delle distribuzioni, in L²(Ω) e si annullano al bordo di Ω. H è uno spazio di Hilbert rispetto al prodotto scalare (u∣v)=∫_Ω∇u∙∇vdx. Inoltre è noto che W₀^1,2(Ω)⊂L^q(Ω) non appena 1≤q≤2*, dove 2*=2n/(n−2) se n>2 e 2*=+∞ altrimenti. In base a queste considerazioni, possiamo concludere che J è ben definito su W₀^1,2(Ω) a patto di supporre che Ψ(x, u)≈∣u∣^p per ∣u∣→∞, con p≤2*. Per tali valori di p si vede anche che J è regolare. Il gradiente di J è definito dalla relazione

[32] formula

e un punto critico z di J verifica (∇J(z)∣v)=0 per ogni v∈W₀^1,2(Ω). Questa è precisamente la forma debole della equazione di Euler-Lagrange, cioè la [14]. Per regolarizzazione, si può poi dimostrare che se ψ è hölderiana allora z è di classe C². Integrando per parti si ottiene

[33] formula.

Poiché tale relazione è verificata per ogni v∈W₀^1,2(Ω), si deduce che z risolve il problema [30] (la condizione al bordo è automaticamente soddisfatta perché z appartiene a W₀^1,2(Ω)).

In modo analogo si può estendere la nozione di punto critico vincolato. Per esempio, i punti critici vincolati di J sulla sfera hilbertiana S={u∈H tali che ∣∣u∣∣=1} sono le soluzioni del problema agli autovalori ∇J(u)=λu, con u∈S.

Teoremi di esistenza

I risultati discussi in precedenza nel caso euclideo possono essere estesi agli spazi di Hilbert. Naturalmente dovremo supporre che valga la condizione di Palais-Smale PS_c, che riscriviamo con le notazioni attuali: ogni successione u_k∈H tale che J(u_k)→c e ∇J(u_k)→0 ha una sottosuccessione convergente u_k→u*.

È opportuno osservare esplicitamente che, a differenza del caso euclideo, per verificare la PS_c non basta più mostrare che u_k è limitata. Infatti, se H è infinito, dimensionale i dischi {u∈H tali che ∣∣u∣∣≤c} non sono compatti nella topologia indotta dalla norma (topologia forte) ma solo in quella debole: a meno di sottosuccessioni, (u_k−u*∣v)→0 per ogni v∈H. Per passare dalla convergenza debole a quella forte occorre qualche ulteriore argomento.

Se vale la condizione PS_c, si possono estendere senza problemi il risultati enunciati in precedenza in ℝⁿ. Ci limitiamo qui ad enunciare due teoremi particolarmente importanti. Il primo, che estende il corrispondente risultato di Lusternik e Schnirelman, afferma:

Supponiamo che H sia uno spazio di Hilbert separabile di dimensione infinita e che J∈C¹(H,ℝ) verifichi le seguenti condizioni: (a) J(u)〈0, ∀u≠0; (b) ∇J(u)≠0, ∀u≠0; (c) ∇J è compatto; (d) J(u)=J(−u).

Allora J ha infiniti punti critici sulla sfera S.

Qui si usano le condizioni (a-b-c-d) per provare che J verifica sulla sfera la condizione PS_c per ogni c〈0.

Il secondo risultato che vogliamo enunciare è il teorema del passo montano.

Supponiamo che J∈C¹(H,ℝ) verifichi J(0)=0 e J(u)≥α per ogni u∈H con ∣u∣=r e che esista u₁∈H con ∣u₁∣>r e J(u₁)〈α. Consideriamo il livello

[34] formula

dove Γ={γ∈C([0,1],H) tali che γ(0)=0, γ(1)=u₁}. Se valgono le ipotesi precedenti e PS_c, allora esiste z∈H tale che J(z)=c>0 e ∇J(z)=0.

Si osservi come non si fa nessuna ipotesi sul fatto che J sia inferiormente o superiormente limitato. Infatti, può accadere (si veda l'esempio seguente) che risulti inf_HJ=−∞ e sup_HJ=+∞.

Vediamo come si applica quest'ultimo teorema al problema [30]. Prenderemo per semplicità ψ(x,u)=∣u∣^p−2u, 2〈p≤2*, e dunque

[35] formula

Poiché p>2, si verifica facilmente che valgono (a) e (b). Per quanto riguarda la PS_c, prima si deduce da J(u_k)→c>0 e ∇J(u_k)→0 che u_k è limitata in W₀^1,2(Ω) e successivamente si usa il fatto che l'immersione di W₀^1,2(Ω) in L^q(Ω) è compatta non appena q〈2*. Segue allora che, se p〈2*, dalla limitatezza di u_k si può dedurre la convergenza forte di u_k a meno di sottosuccessioni.

Possiamo quindi applicare il teorema del passo montano che assicura l'esistenza di un punto critico u≠0 di J, in modo che l'equazione −Δu=∣u∣^p−2u ha una una soluzione non banale in W₀^1,2(Ω) non appena 2〈p〈2*. Osserviamo che, in base a una identità di Stanislav I. Pohozaev, il problema −Δu=∣u∣^2*−2u, u∈W₀^1,2(Ω), ha solo la soluzione banale u≡0.

Più in generale, possiamo considerare problemi del tipo

[36] formula.

In dimensione n=1 questo è nient'altro che il problema [15]. La differenza rispetto al caso precedente sta nel fatto che per λ grande il funzionale

[37] formula

non verifica più l'ipotesi (a). Tuttavia sono stati anche sviluppati dei teoremi di esistenza di punti critici, più generali del passo montano (teoremi di linking), che permettono di studiare anche questo caso ottenendo risultati che estendono in modo completo quelli descritti nel paragrafo 3 e riportati nella fig. 1.

Il caso dell'esponente critico

Il caso in cui p=2* (esponente critico) presenta dei nuovi fenomeni ed è stato affrontato per la prima volta da Haim Brezis e Louis Nirenberg, che hanno studiato l'esistenza di soluzioni positive per il problema

[38] formula.

Indichiamo con λ₁ il più piccolo valore di λ∈ℝ per cui il problema −Δu=λu, con u=0 per x∈∂Ω, ha soluzione. Brezis e Nirenberg hanno dimostrato il seguente risultato:

Se n≥4 il problema [38] ha una soluzione positiva per tutti i λ∈]0,λ₁[.

Se n=3 esiste λ*∈[0,λ₁[ tale che [38] ha una soluzione positiva se e solo se λ∈[λ*,λ₁].

L'interesse non sta solo nel risultato in se stesso ma anche nel metodo dimostrativo, ripreso da molti altri autori. La difficoltà sta nel fatto che, a causa della presenza dell'esponente critico, non si possono più utilizzare gli argomenti prima accennati per provare la condizione di Palais-Smale (invece le ipotesi geometriche del teorema del passo montano sono verificate). Per superare questo ostacolo si prova:

1) La PS_c vale per c〈S^n/2/n, dove S=inf{∣∣u∣∣² tali che u∈W₀^1,2(Ω), ∫_Ω∣u∣^2*=1} è la migliore costante dell'immersione di W₀^1,2(Ω) in L^2*(Ω) (ricordiamo che S non dipende da Ω).

2) Se λ verifica le condizioni del teorema, allora il livello di passo montano è minore di S^n/2/n.

Si deduce allora facilmente che c è un livello critico, nel senso che esiste un punto critico del corrispondente funzionale a livello c. Questo punto critico è la soluzione cercata.

Un risultato qualitativo

Terminiamo questa sezione enunciando un risultato qualitativo di grande eleganza, dovuto a Basilis Gidas, Wei-Ming Ni e Nirenberg. Mediante l'uso del metodo del moving plane esso stabilisce quanto segue:

Sia B={x∈ℝⁿ tali che ∣x∣〈1} e ψ∈C¹([0,+∞),ℝ). Ogni soluzione positiva u∈C²(B−) di −Δu=ψ(u) in B e u=0 sul bordo ∂B è radiale in B. Inoltre ∂u/∂r〈0.

L'interesse del risultato sta nel fatto che esso vale per una qualunque nonlinearità ψ(u).

Sviluppi recenti

A partire dal lavoro di Brézis e Nirenberg si è andato sviluppando un grande interesse per i problemi variazionali nei quali non è soddisfatta la condizione di Palais e Smale.

In molti di questi problemi PS_c non vale perché essi sono invarianti rispetto a un gruppo non compatto di isometrie e il recupero della compattezza avviene per la presenza di un termine che rompe la simmetria. In una serie di articoli Pierre-Louis Lions ha sviluppato una teoria abbastanza generale (il metodo di concentrazione-compattezza) per studiare questi fenomeni; per semplificare l'esposizione preferiamo qui esporre alcuni casi tipici di particolare interesse.

Problemi ellittici in Rⁿ

Problemi ellittici su tutto ℝⁿ intervengono spesso in fisica. Per esempio, consideriamo l'equazione di Klein-Gordon non lineare

[39] formula,

dove ϕ(t,x) è una funzione a valori complessi. Cerchiamo soluzioni del tipo ϕ(t,x)=e^−iωtu(x), con ω∈ℝ e u(x)∈ℝ (onde stazionarie). Sostituendo in [39], si trova per u l'equazione

[40] formula,

a cui si aggiunge la condizione u∈W^1,2(ℝ) per ottenere soluzioni di energia finita.

Per avere un'idea dei risultati che si possono ottenere, discutiamo il problema modello

[41] −Δu+u=a(x)^p−1 u>0, u∈W^1,2(ℝ),

dove 2〈p〈2*. Le soluzioni di [41] sono i punti critici del funzionale

[42] formula.

È facile vedere che J verifica le ipotesi geometriche del teorema del passo montano ma non la PS_c. Se a(x) è costante, per esempio a(x)≡1, è noto che [41] ha una unica soluzione radiale che indicheremo con U. Il problema è invariante rispetto al gruppo delle traslazioni x→x+ξ e quindi anche ogni U(x+ξ) è soluzione di [41]. Poiché, ovviamente, presa una successione ξ_k con ∣ξ_k∣→∞ la successione U_k(x)=U(x+ξ_k) non è compatta in W^1,2(ℝⁿ), la condizione PS_c non è verificata. Il coefficiente a(x) rompe però questa invarianza e si tratta di vedere sotto quali ipotesi si recupera la PS_c. Usando il metodo di concentrazione-compattezza di Lions si può dimostrare, in analogia con quanto visto per il problema con l'esponente critico, che PS_c vale per c al di sotto di una soglia critica c*. Se lim_{∣x∣→∞}a(x)=1 e a(x)>1, si vede che J verifica la PS_c al livello di passo montano c. Più delicato è il caso in cui a〈1. È stato provato da Abbas Bahri e Lions che se esistono a₀,δ>0 tali che a(x)>1−a₀e^{−(2+δ)∣x∣} per ∣x∣ sufficientemente grande allora [41] ha una soluzione.

Concludiamo enunciando un teorema di non-esistenza, dovuto a Gidas e Joel Spruck:

Sia u∈C²(ℝⁿ) una soluzione non negativa dell'equazione −Δu=u^p, con p−1〈2* e n≥3, allora u≡0.

Equazioni di Schrödinger non lineari

Quando il problema è di tipo perturbativo la mancanza di compatezza può essere superata mediante argomenti specifici. Ci limitiamo qui al caso dell'equazione di Schrödinger non lineare

[43] formula,

che interviene in meccanica quantistica (ℏ è la costante di Planck). Se cerchiamo onde stazionarie del tipo ϕ(t,x)=e^iℏ−1λtu(x), troviamo l'equazione

[44] formula.

Per la transizione dalla meccanica classica a quella quantistica è particolarmente interessante studiare l'esistenza e il comportamento degli stati semiclassici, cioè delle soluzioni u_ℏ>0 della [44] per ℏ→0. Con il cambio di variabile x→ℏx, essa diventa ∂²u/∂x²+λu+V(ℏx)u=u³, forma che mette in evidenza come, per ℏ piccolo, possa essere studiata come perturbazione del problema ∂²u/∂x²+λu+V(0)u=u³. Il fenomeno più interessante riguardo gli stati semiclassici è la concentrazione delle soluzioni: diremo che u_ℏ si concentra in x₀ per ℏ→0 se u_ℏ(x)→0 quando ℏ→0, uniformemente per x≠x₀.

Un risultato tipico è il seguente, ottenuto da Andreas Floer e Alan Weinstein:

Supponiamo che V∈C²(ℝ) sia tale che ∣∣V∣∣_C2(ℝ)≤cost. e che λ+inf_ℝV>0. Se x₀ è un punto critico di V non degenere, allora, per ℏ sufficientemente piccolo, [44] ha una soluzione u_ℏ>0 che si concentra in x₀ quando ℏ→0.

Viceversa, se [44] ha per ℏ→0 una soluzione u_ℏ che si concentra in x*, allora V′(x*)=0.

Lo studio degli stati semiclassici dell'equazione [44] è proseguito ottenendo varie estensioni del risultato precedente ed è ancora oggetto di indagine estremamente vivace.

Problemi di geometria differenziale

Anche la geometria differenziale è una fonte di problemi ellittici non lineari di tipo variazionale. L'esempio tipico è un risultato di Poincaré che prova l'esistenza di metriche conformi tali che una varietà compatta di dimensione 2 abbia curvatura gaussiana costante. Per avere un'idea della natura di tali questioni e delle difficoltà che sorgono, considereremo brevemente il problema seguente. Data la sfera n-dimensionale Sⁿ con la metrica standard g₀, ci si chiede se è possibile trovare una metrica g a essa conformemente equivalente, cioè tale che g=ϱg₀ per qualche ϱ(x)>0, in modo che Sⁿ munita della nuova metrica g abbia per curvatura scalare una funzione R(x) assegnata. Considereremo il caso n≥3 e R>0. Ponendo ϱ=u^4/(n−2) e usando la proiezione stereografica π, il problema si riduce, per n≥3, a trovare una soluzione positiva dell'equazione su ℝⁿ

[45] formula

tale che ∫_ℝn∣∇u∣²〈∞. Se R∼≡1, il problema precedente è invariante non solo per traslazioni (perché è posto su tutto ℝⁿ) ma anche per dilatazioni x→μx con μ>0 poiché la non lineraità è critica (si noti che (n+2)/(n−2)=2*−1). Questo rende lo studio di [45] molto più delicato e difficile rispetto a quanto visto per le equazioni su ℝⁿ con esponente minore di quello critico.

Sono state trovate condizioni necessarie per l'esistenza dovute a Jerry L. Kazdan e Frank W. Warner, mentre condizioni sufficienti sono state date da Bahri, Sung-Yung A. Chang, Jean-Michel Coron, Yan Yan Li, Paul C. Yang e altri. Per esempio, se n=3 si può dimostrare l'esistenza di una soluzione positiva di [45] sotto le seguenti condizioni:

a) R∼ è una funzione di Morse e ha un numero finito di punti critici x₁,…,x_k.

b) Per ogni j=1,…,k si ha ΔR∼(x_j)≠0.

c) Indicato con m_j l'indice di Morse di x_j, si ha

[46] formula.

Negli ultimi anni la teoria dei punti critici è stata usata anche per studiare altri problemi di geometria conforme, che coinvolgono operatori differenziali di ordine 4 o completamente non lineari.

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