anello

anello

anello struttura algebrica in cui due operazioni, dette generalmente addizione e moltiplicazione (ma, con abuso di linguaggio, anche somma e prodotto), godono di determinate proprietà le quali generalizzano alcune proprietà fondamentali soddisfatte dalle operazioni definite nell’insieme Z dei numeri interi che, a un primo livello, può essere assunto come prototipo di anello.

Formalmente, un anello è una terna (A, +, ·) in cui A è un insieme, detto sostegno dell’anello, e i simboli + e · denotano due operazioni binarie definite su A e rispetto alle quali esso è chiuso, tali che la coppia (A, +) è un gruppo commutativo (detto gruppo additivo dell’anello) e la coppia (A, ·) è un semigruppo. È inoltre richiesto che le due strutture siano compatibili, cioè che le due operazioni siano legate dalle proprietà distributive.

Un anello è dunque definito dai seguenti assiomi formali, dove a, b e c indicano arbitrari elementi di A:

• (a + b) + c = a + (b + c)

(associatività dell’addizione)

• ∃0 ∈ A: ∀a ∈ A (0 + a = a + 0 = 0)

(esistenza dell’elemento neutro rispetto all’addizione)

• ∀a ∈ A ∃i_a ∈ A : a + i_a = i_a + a = 0

(esistenza dell’inverso rispetto all’addizione)

• a + b = b + a

(commutatività dell’addizione)

• (a · b) · c = a · (b · c)

(associatività della moltiplicazione)

• (a + b) · c = a · c + b · c

(distributività a destra dell’addizione rispetto alla moltiplicazione)

• a · (b + c) = a · b + a · c

(distributività a sinistra dell’addizione rispetto alla moltiplicazione)

Segue da questi assiomi che l’elemento neutro dell’addizione, indicato con il simbolo 0 in analogia con il caso dell’anello Z dei numeri interi, è effettivamente unico. Anche l’elemento i_a è in effetti unico e, sempre in analogia con il caso di Z, viene detto opposto di a e indicato con il simbolo −a.

Se si richiede in aggiunta che la moltiplicazione goda di ulteriori proprietà, allora si ottengono altrettanti tipi di anelli. In particolare un anello è detto anello con unità o unitario se esiste l’elemento neutro rispetto alla moltiplicazione (indicato con 1 in analogia con il caso di Z); è detto anello commutativo se il prodotto è commutativo. Un anello commutativo è detto euclideo se a ogni suo elemento a si può associare un intero non negativo v(a), detto valutazione di a, tale che v(a) = 0 se e solo se a = 0, v(ab) = v(a)v(b), e se, dati due elementi a e b di A, con b ≠ 0, esistono in A due elementi q (quoziente) e r (resto) tali che a = bq + r, con v(r) < v(b). Un esempio di anello euclideo è dato dall’insieme degli interi (Z), ponendo v(a) = a (modulo di a).

Se esistono due elementi a e b, diversi da 0, tali che ab = 0, allora essi vengono detti divisori dello zero. Un anello privo di divisori dello zero è detto anello di integrità o integro; un anello commutativo unitario integro è detto dominio d’integrità o, più semplicemente, dominio. Un anello unitario in cui ogni elemento sia invertibile rispetto alla moltiplicazione è detto corpo; un corpo commutativo è detto campo. Ogni dominio d’integrità è contenuto (a meno di isomorfismo) in un campo; il minimo campo contenente un dominio d’integrità è unico (a meno di isomorfismo) e costituisce il suo campo dei quozienti.

Uno dei principali esempi di anello, e più in particolare di dominio d’integrità, è costituito dall’insieme Z dei numeri interi, con le operazioni di addizione e moltiplicazione (anello degli interi). Un secondo fondamentale esempio è dato dall’anello dei polinomi A[x] in una indeterminata a coefficienti in un anello commutativo unitario A. Se A è un dominio, allora anche A[x] lo è.

Una classe fondamentale di sottoinsiemi di un anello (A, +, ·) è quella costituita dagli ideali di A, e in particolare dagli ideali bilateri: questi sono particolari sottogruppi del gruppo additivo dell’anello (dunque sottogruppi normali, poiché (A, +) è, per definizione di anello, un gruppo commutativo), che risultano essere chiusi rispetto alla moltiplicazione (a destra e a sinistra) per un arbitrario elemento di A. Gli ideali bilateri hanno, nel contesto degli anelli, lo stesso ruolo dei sottogruppi normali nel contesto dei gruppi: se infatti I è un ideale bilatero di A, allora, essendo in particolare un sottogruppo normale del gruppo additivo di A, è ben definito il gruppo quoziente (A/I, +). Oltre all’addizione, l’insieme A/I, i cui elementi sono le classi laterali additive di I in A, eredita da A anche la moltiplicazione: con queste due operazioni, A/I eredita così la struttura di anello, rispetto alla quale esso è detto anello quoziente di A modulo I.

Importanti tipi di anello sono l’anello ordinato, l’anello artiniano, l’anello locale, l’anello a valutazione discreta, l’anello noetheriano.

Anello ordinato

È un anello dotato di un ordinamento totale ≤ compatibile con la sua struttura di anello, nel senso che sono soddisfatti i due seguenti assiomi, dove a, b e c indicano arbitrari elementi di A:

a) se a ≤ b, allora a + c ≤ b + c

(compatibilità con l’addizione)

b) se 0 ≤ a e se b ≤ c, allora a · b ≤ a · c

(compatibilità con la moltiplicazione)

Per esempio, l’anello degli interi Z, con l’ordinamento ordinario, è un anello ordinato. Un anello ordinato A risulta partizionato nei tre sottoinsiemi P = {a ∈ A : a ≥ 0, a ≠ 0}; {0}; −P = {−a : a ∈ P} (legge di tricotomia): in altri termini, dato un elemento di A, allora o esso è positivo, o esso è nullo, o esso è negativo.

Anello artiniano

È un anello parzialmente ordinato tale che ogni suo sottoinsieme ha un elemento massimale (ovvero soddisfa la condizione di massimalità). Prende il nome dal matematico tedesco E. Artin.

Anello locale

È un anello dotato di un unico ideale massimale. Tutti i campi e tutti gli anelli a valutazione discreta (vedi oltre) sono particolari esempi di anelli locali. Gli anelli locali rivestono notevole importanza in geometria algebrica e più in generale in tutta la geometria: se infatti M è una varietà topologica (rispettivamente differenziabile, analitica, algebrica) e se p è un punto di M, allora l’insieme dei germi di funzioni continue (rispettivamente differenziabili, analitiche, regolari) in p ha una naturale struttura di anello locale, con ideale massimale il sottoinsieme costituito dai germi di funzioni che si annullano in p.

Anello a valutazione discreta

Indicato anche con l’abbreviazione dvr, è un dominio d’integrità (che non sia un campo) che è allo stesso tempo un anello locale e un dominio a ideali principali, in cui cioè ogni ideale è principale (è principale un ideale in cui tutti gli elementi sono multipli di un suo opportuno elemento). Un dominio d’integrità è un dvr se e solo se esiste una valutazione v del suo campo dei quozienti di cui A è l’anello locale associato.

Anello noetheriano

Prende il nome dalla matematica tedesca E. Noether. È un anello A che soddisfa una qualsiasi delle seguenti condizioni equivalenti: 1) ogni ideale di A è finitamente generato; 2) ogni catena ascendente di ideali di A è stazionaria, ovvero per ogni successione di ideali I₀ ⊂ I₁ ⊂...⊂ I_k ⊂... esiste un indice k₀ tale che

per ogni indice k ≥ k₀; 3) ogni insieme non vuoto di ideali di A contiene un elemento massimale (ovvero un ideale che non può essere contenuto in nessun ideale dell’insieme). Ogni dominio a ideali principali è in particolare un anello noetheriano; un fondamentale teorema (→ Hilbert, teorema della base di) asserisce che se A è noetheriano, allora anche l’anello A[x] dei polinomi a coefficienti in A lo è. Da questo risultato segue l’importanza degli anelli noetheriani in geometria algebrica. Tutti i campi sono anelli noetheriani. L’anello degli interi è un anello noetheriano. Ogni anello artiniano commutativo è noetheriano.