anello

anello

La nozione di anello esprime in forma astratta le analogie presenti, per es., tra la manipolazione dei numeri interi relativi e quella dei polinomi. Il suo studio è stato decisivo per lo sviluppo dell’algebra astratta durante tutto il Novecento e trova la sua origine nei lavori della scuola tedesca del XIX sec., principalmente di Ernst Kummer, Leopold Kronecker, Richard Dedekind e David Hilbert. Un anello è un insieme A munito di due leggi di composizione interne (x,y)→x+y e (x,y)→xy, chiamate rispettivamente addizione e moltiplicazione, che possiedono le seguenti proprietà: (a) x+(y+z)=(x+y)+z (associatività dell’addizione); (b)x+y=y+x (commutatività dell’addizione); (c) esiste un elemento, indicato con il simbolo 0 e detto elemento neutro dell’addizione o anche zero, tale che per ogni elemento x di A si abbia: x+0=x; (d) per ogni x di A esiste un elemento, indicato con il simbolo −x e detto opposto di x, tale che: x+(−x)=0; (e) x(yz)=(xy)z (associatività della moltiplicazione); (f) x(y+z)=xy+yz; (y+z)x=yx+zx (distributività della moltiplicazione rispetto all’addizione). Qualora esista in A un elemento, indicato con il simbolo 1, tale che per ogni x sia 1x=x1=x, A si dice anello con identità. Le proprietà (a) e (d) esprimono il fatto che A è un gruppo commutativo per l’addizione. Consideriamo ora un qualunque x in A. Se esiste, l’unico elemento di A (indicato con il simbolo x⁻¹) soddisfacente xx⁻¹=x^{−1=1 si chiama inverso (per la moltiplicazione) di x e x stesso è allora detto invertibile (per la moltiplicazione). L’anello A si dirà commutativo se per ogni x,y abbiamo xy=yx; la proprietà (f) può allora essere formulata facendo uso di una sola equazione. Per es., l’insieme ℕ dei numeri naturali non è un anello rispetto alle usuali operazioni di addizione e moltiplicazione: nessun elemento è invertibile rispetto alla moltiplicazione e solo lo zero lo è rispetto all’addizione. Per dare a ciascun elemento di ℕ un inverso rispetto all’addizione è necessario considerare gli interi relativi ℤ (positivi e negativi).Lo studio degli anelli commuativi costituisce un capitolo fondamentale e incredibilmente ramificato dell’algebra classica e contemporanea, ma tale importante proprietà è comunque ben lontana dall’esaurire tutte le possibilità: gli anelli di matrici (o anche di operatori lineari su spazi vettoriali), per es., non possiedono tale attributo. Il calcolo algebrico in questo caso, detto non-commutativo, richiede evidentemente qualche particolare cautela. Per es., se x e y sono elementi di un anello A abbiamo in generale (x+y)(x−y)= x2−y2−xy+yx, ma se x e y commutano (ovvero xy=yx) vale allora la formula classica (x+y)(x−y)=x2−y2. Notiamo che due particolari elementi di un anello non commutativo possono anche commutare. In un anello qualunque inoltre non è sempre possibile ‘semplificare a’ in un’uguaglianza del tipo ax=ay. Per es., in un anello di Boole si ha sempre x2−x=x(x−1)=0 e quindi il prodotto di due elementi non nulli può essere uguale a zero. Consideriamo ora gli anelli A e B e un’applicazione f:A→B da A a B. Si dice che f è un omomorfismo di anelli se rispetta la struttura di anello (o algebra), ovvero f(x+y)=f(x)+ f(y) e f(xy)=f(x) f(y) (e, se A e B sono algebre sul medesimo corpo K, f(λx)=λf(x) per ogni λ in K). Se x appartiene all’insieme I degli elementi di A tali che f(x)=0 allora la relazione f(ax)=f(a)f(x)=0 è evidentemente verificata (lo stesso vale per f(xa)) e ax(xa) è ancora un elemento di I. Il sottoinsieme I è allora detto ideale (bilatero).}x

→ Numeri, teoria dei