APPLICAZIONE
APPLICAZIONE
Il concetto di applicazione (in fr. application; ingl. mapping; ted. Abbildung) è un'ampia estensione, nell'ambito della teoria generale degli insiemi, dell'idea di funzione fornita dall'analisi matematica classica. Diamo qui di seguito la definizione generalmente accettata, non senza far notare come il termine assuma significati lievemente diversi presso taluni autori e sia talvolta sostituito da sinonimi, tra i quali citiamo funzione nel suo significato più lato. Dati due insiemi qualsiasi X e Y, per applicazione di X in Y si intende una legge ϕ che, a partire da ciascun elemento x di X, permetta di costruire uno ed un solo elemento di Y, il quale è generalmente variabile al variare di x. L'a. ora definita si indica per lo più con ϕ: X → Y; l'elemento di Y che corrisponde ad un x di X si denota con uno dei seguenti simboli: ϕx, ϕ(x), xϕ, xϕ; noi ci atterremo alla prima notazione. Esempio: sia X l'insieme di tutti i punti dello spazio euclideo ordinario, sia Y l'insieme dei punti di un piano π, fissato in tale spazio; un'a. ϕ: X → Y è data dalla proiezione ortogonale su π; ciò significa che ad ogni punto x dello spazio l'a. ϕ fa corrispondere la sua proiezione ortogonale ϕx su π.
È evidente dalla definizione come il concetto di a. sia una particolarizzazione di quello di corrispondenza; le particolarità che contraddistinguono le applicazioni sono le due seguenti: ϕx è univocamente determinato, ed ha significato per ogni x di X.
Quando x descrive l'insieme X, l'elemento ϕx descrive un sottoinsieme Y* di Y, detto insieme di variabilità, o coinsieme, o codominio di ϕ. Se Y* = Y si dice che ϕ è un'a. di X su Y; se Y* è un sottoinsieme, proprio o no, di Y si parla di a. in Y. In ogni caso se l'a. è tale che elementi distinti di X diano luogo in Y ad elementi distinti, l'a. si dice univalente. Se un'a. è ad un tempo univalente e su Y, si chiama a. biunivoca, oppure a. [1,1]. In quanto precede, non è escluso che i due insiemi X, Y coincidano, nel qual caso si parla di a. di X in sé stesso o su sé stesso, a seconda del caso; un'a. biunivoca di un insieme su se stesso si chiama, specialmente nel caso di un insieme finito, una sostituzione o una permutazione. Per ogni insieme X, esiste sempre un'a. biunivoca su sé stesso, estremamente particolare, che prende il nome di identità, o a. identica: è quella che a ciascun elemento fa corrispondere l'elemento stesso; in simboli: ϕx = x.
Per ogni a. ϕ: X → Y, quando l'elemento x descrive un qualunque sottoinsieme C di X, l'elemento ϕx descrive un sottoinsieme di Y che si indica ϕC e che si dice immagine di C (non è escluso che C si riduca ad un solo elemento). Quando ad ogni elemento x′ di C si associa l'elemento ϕx′, appartenente a ϕC, si determina un'a. ϕ′: C → ϕC, che si chiama la restrizione di ϕ agli insiemi C, ϕC. Se D è un qualunque sottoinsieme di Y, l'insieme di tutti gli elementi x di X, tali che ϕx appartenga a D, è detto controimmagine di D e si indica con ϕ-1D. Se ϕ è un'a. biunivoca, la legge che ad ogni elemento y di Y associa la sua controimmagine ϕ-1 y in X è un'a. biunivoca ϕ-1: Y → X, che si dice l'a. inversa di ϕ.
Dati tre insiemi X, Y, Z e due a. ϕ: X → Y e ψ: Y → Z, per composizione, o prodotto, di esse, nell'ordine dato, s'intende l'a. ψϕ: X → Z definita dalla relazione (ψϕ)x = ψ(ϕx); a parole, ψϕ è l'a. che si ottiene operando successivamente mediante le due applicazioni date. È evidente come questo concetto generalizzi quello di funzione composta o funzione di funzione.
Quanto si è detto sin qui appartiene alla teoria generale degli insiemi, vale cioè con riferimento a due insiemi X e Y qualsiasi. Se uno di essi è di tipo particolare o se lo sono entrambi, la particolarità consistendo ad es. nella presenza di una "struttura" di gruppo, corpo, spazio topologico, ecc., si presenta il problema di esaminare come una data a. si comporta, in X o in Y, rispetto alla data struttura. A seconda del tipo della struttura e del comportamento, rispetto ad essa, dell'a., quest'ultima assume denominazioni particolari. Diamo alcuni esempî. Se X e Y sono gruppi (o, salvo lievi modifiche, anelli, algebre, corpi, ecc.) e se ϕ conserva l'operazìone gruppale definita in X, cioè se ϕ(x • y) = (ϕx) • (ϕy), l'a. prende il nome di omomorfismo; una siffatta a. si dice epimorfismo se è su Y, monomorfismo se è univalente, isomorfismo se è biunivoca. Quando Y coincide con X, omomorfismi e isomorfismi prendono rispettivamente i nomi di endomorfismi ed automorfismi. Se X e Y sono spazî topologici e se le contro-immagini degli insiemi aperti di Y sono insiemi aperti di X, l'a. ϕ si chiama a. continua; se essa è inoltre biunivoca e anche l'a. inversa è continua, allora ϕ prende il nome di omeomorfismo o trasformazione topologica.
Bibl.: N. Bourbaki, Eléménts de mathématique, Parigi (dal 1939); B. Segre, Forme differenziali e loro integrali, I, Roma 1951; G. Birkhoff e S. MacLane, A survey of modern algebra, New York 1941; B. L. van der Waerden, Moderne Algebra; Berlino 1950, ediz. inglese New York 1953; W. Specht, Gruppentheorie, Berlino 1956; O. Zariski e P. Samuel, Commutative algebra, I, New York 1958.