approssimato

approssimato

approssimato [agg. Der. del part. pass. approximatus del lat. approximare "avvicinarsi a", comp. di ad- e proximus "prossimo"] [LSF] Che riguarda o che deriva da un'approssimazione. ◆ [ANM] Calcolo a.: generic., procedimento di calcolo, il cui risultato sia affetto da un errore stimabile a priori, che utilizza numeri a. (v. oltre). ◆ [ANM] Formule a.: locuz. con cui s'indicano semplici espressioni polinomiali che, ove si accetti un determinato grado di approssimazione, possono essere sostituite a determinate funzioni per renderne molto più agevole il calcolo dei valori. Nella tab. sono riportate, a titolo di esempio, formule di tale genere per alcune funzioni, indicando il campo entro il quale può variare l'argomento se non si vuole che l'errore relativo superi limiti assegnati; tali formule sono state ottenute considerando i primi termini dello sviluppo in serie di Taylor della funzione interessata. Se il ricorso a uno sviluppo in serie non è possibile o non è agevole può essere utile la considerazione generale che se si vuole approssimare con una funzione g(x) una funzione data f(x) nell'intervallo (a,b) della x, una buona approssimazione si ha quando la g(x) è tale da rendere minimo l'integrale dei quadrati degli scarti: M= ∫ba[f(x)-g(x)]2dx; l'errore quadratico medio di approssimazione vale [M/(b-a)]1/2. La determinazione di tale funzione di ottima approssimazione si fa risolvendo il sistema di equazioni ottenuto uguagliando a zero le derivate di M rispetto ai parametri della g(x). ◆ [ANM] Numero a.: numero non esatto, affetto da errore; sono tali, per es., i numeri che danno il valore di misure fisiche, affetti da cosiddetti errori di misurazione, e quelli che rappresentano con un numero di cifre finite numeri per loro natura illimitati (per es., š²3.14), affetti da cosiddetti errori di troncamento: v. misure fisiche: IV 50 b. ◆ [ANM] Valori a. di grandezze funzionali: spesso misure e altri numeri a. servono, introdotti che siano in apposite relazioni, per calcolare il valore di determinate grandezze, sul quale si riflettono gli errori da cui sono affetti i valori a. in questione. Se f(x₁, x₂,...) è una grandezza funzione di altre grandezze x₁, x₂,... e se Δx₁, Δx₂,... sono gli errori assoluti delle misure di queste ultime, per l'errore assoluto Δf della grandezza medesima si ha: Δf≤|f'₁|Δx₁ + |f'₂|Δx₂ + ..., dove f'i indica la derivata prima della f rispetto a xi e gli errori vanno considerati in valore assoluto; normalmente, a meno di disporre di informazioni particolari sull'entità degli errori, la relazione precedente è assunta come uguaglianza (se nel-l'espressione della f compaiono numeri a. rappresentanti numeri illimitati, essi vanno trattati come se fossero grandezze). Si abbia da calcolare, per es., il volume v di una sfera il cui raggio r sia (15±0.05) cm; la relazione da usare è, come ben si sa, 4πr3/3; assumendo π²3.14 si commette un errore assoluto ²0.002; si ha: (4╳3.14 ╳153):3 = 14 130 cm3; v = (4r3/3)Δπ + 4πr2 Δr = [(4╳3 375):3]╳0.002 + 4╳3.14╳225╳0.05 ² 150 cm3; in definitiva: v = (14 130±150) cm3. L'errore effettivo, quale risulta dal calcolo aritmetico completo, sarebbe di 141 cm3, cioè, conformemente alla disuguaglianza precedente, un po' minore di quello dato prima: ma la differenza è ben tollerabile. Quanto all'errore relativo, si ha: δf = Δf/|f|≤|f'₁/f|Δx₁+|f'₂/f|Δx₂+ ... Nell'esempio fatto, si ha δv=Δπ/π + 3 Δr/r ² 0.006 + 0.01 ² 1 %; o anche, direttamente dall'errore assoluto, δv=Δv/v = ± 150/14 130 ² ± 1%. Capita talora anche il problema inverso, vale a dire di dovere determinare l'errore massimo da cui possono essere affette misure di grandezze affinché il valore di una grandezza f che da essa dipenda sia affetto da un errore non maggiore di un limite assegnato. Questo problema non ha sempre soluzione unica. In generale, si tratta di esprimere, mediante l'una o l'altra delle disuguaglianze precedenti, l'errore assoluto o quello relativo della f; si ottiene così un'equazione nella quale figurano come incognite gli errori delle misure; se queste sono più d'una, occorrono un certo numero di condizioni aggiuntive per rendere determinata la questione.