approssimazione diofantea

approssimazione diofantea

approssimazione diofantea approssimazione di un numero, reale o complesso, mediante numeri appartenenti a insiemi prestabiliti, per esempio l’insieme dei numeri razionali o dei numeri algebrici di grado limitato ecc. In particolare, con tale locuzione si intende spesso la ricerca di buone approssimazioni razionali di numeri irrazionali, ottenute generalmente come particolari somme di infiniti termini il cui calcolo viene troncato a un determinato punto. Per esempio, la somma infinita

formata da frazioni unitarie con denominatori dispari e segni alternati converge al valore π/4 (formula di → Wallis (per pi greco)); quindi ogni sua somma parziale (ottenuta cioè fermando il calcolo a un determinato punto) fornisce un’approssimazione razionale di π/4. Analogamente, il numero di Nepero e è definito come somma della serie a termini positivi

e si può allora considerare ogni somma parziale, cioè arrestata all’n-esimo termine, come una successiva approssimazione razionale, più precisa di ciascuna delle precedenti, del valore limite cercato. Si ottiene, quindi, al primo passo del procedimento, il valore approssimato e ≅ 1, al secondo passo e ≅ 3/2, al terzo passo e ≅ 5/3, al quarto passo e ≅ 41/24 e così via. La definizione di limite di una successione assicura la possibilità di rendere l’errore arbitrariamente piccolo.