approssimazioni successive
approssimazioni successive
approssimazioni successive procedimento di individuazione progressiva di valori approssimati di un risultato, la cui attendibilità aumenta all’aumentare del numero di iterazioni che ciclicamente si ripetono, fino a rendere l’errore commesso nell’approssimazione minore di un valore arbitrariamente scelto. I metodi numerici impiegati per il calcolo approssimato delle soluzioni di equazioni, di sistemi di equazioni, di equazioni differenziali e per la determinazione della migliore funzione interpolatrice di un insieme di punti sono generalmente basati su algoritmi iterativi o ricorsivi che si arrestano al verificarsi di certe condizioni. Nell’ipotesi che l’algoritmo sia convergente, il valore vn ottenuto alla fine dell’n-esimo ciclo di istruzioni viene confrontato con il valore vn−1 ottenuto dal ciclo precedente: si dice in tal caso che l’algoritmo determina il valore della soluzione per approssimazioni successive. La condizione usuale di arresto per questo tipo di problemi dipende dall’errore assoluto che l’algoritmo commette tra due cicli successivi, ossia dal valore di |vn − vn−1|. Se |vn − vn−1| < ε, con ε valore arbitrariamente fissato, ma sufficientemente piccolo da rendere irrilevante un altro ciclo di calcolo, allora si può assumere vn come il valore attendibile della soluzione. Più in generale, un procedimento per approssimazioni successive consiste nella costruzione della successione di generico elemento xn = φ(xn−1), con x0 fissato, essendo φ una contrazione di uno spazio metrico E. Se E è completo, la successione converge all’unico punto fisso di φ in E.