area con segno

area con segno

area con segno numero reale che fornisce, oltre alla effettiva misura dell’estensione di una superficie un’ulteriore informazione, data dal suo segno, relativa alla superficie stessa. È un’informazione legata alla posizione della superficie nel piano cartesiano o meglio all’orientamento del suo contorno. L’integrale definito di una funzione reale di una variabile reale y = ƒ(x) in un intervallo [a, b] dà l’area con segno della superficie sottesa al grafico della funzione in quell’intervallo. L’area risulta positiva se y > 0 in quell’intervallo, negativa se y < 0 in quell’intervallo; va osservato che se si effettua l’integrazione in verso opposto (cioè da b ad a, con a < b) l’area cambia di segno. Ciò che determina il segno dell’area di una superficie – qualora tale segno venga considerato – è in realtà l’orientamento del suo contorno: quando questo è in verso antiorario (percorrendolo, cioè, la superficie è tutta alla sua sinistra) l’area con segno è positiva; altrimenti è negativa. Poiché il determinante della matrice di una trasformazione geometrica del piano esprime il rapporto tra le aree con segno dei parallelogrammi formati dai versori del riferimento dopo e prima della trasformazione, il segno di tale determinante dà una informazione immediata sul mantenimento o meno nella trasformazione del verso di orientamento dei punti del piano. Se tale rapporto è positivo, il verso di orientamento si mantiene, se è negativo, come per esempio nella simmetria assiale, muta nell’opposto. Più in generale, poiché il determinante jacobiano di una trasformazione piana rappresenta il rapporto tra l’area della superficie immagine e quella della superficie (infinitesima) trasformata, se il suo segno è negativo la trasformazione è tale che una curva chiusa percorsa in verso antiorario si trasforma in una curva percorsa in verso orario, come appunto nella simmetria assiale.