aritmetica modulare
aritmetica modulare
aritmetica modulare aritmetica che opera su un insieme finito di numeri, contrapposta all’aritmetica ordinaria che opera sull’insieme infinito N dei numeri naturali. Rappresenta un caso particolare di → aritmetica finita, ed è nota anche come aritmetica circolare in quanto si presta alla matematizzazione di fenomeni ciclici. Un esempio classico è quello dell’aritmetica modulo 12 (detta talvolta anche aritmetica dell’orologio): in tale sistema si assume infatti che 12 coincide con 0 e l’insieme numerico su cui si opera è dunque costituito dall’insieme finito di numeri {0, 1, 2, …, 11}. Il modo di operare corrisponde a situazioni di vita quotidiana per le quali, per esempio, se si aggiungono 3 ore alle 11 antimeridiane, si arriva alle 2 pomeridiane. Dunque, in formula sintetica: 3 + 11 = 2.
Più rigorosamente, se n è un numero naturale, si dice in generale aritmetica modulo n l’aritmetica che opera sull’insieme {0, 1, …, n − 1}, nella quale si assume che n coincida con 0: l’intero n è detto modulo dell’aritmetica. Pertanto, in una tale aritmetica risulta per esempio n + 1 = 0 + 1 = 1. Più in generale, ogni numero intero m può essere scritto modulo n attraverso l’algoritmo della divisione con resto (→ Euclide, algoritmo di): se infatti q e r sono rispettivamente il quoziente e il resto della divisione di m per n, vale allora per definizione m = nq + r e dunque, poiché si è posto n = 0, si ottiene m = r con r numero intero compreso tra 0 e n − 1. Più correttamente, si scrive m ≡ r (mod n) e si legge «m è congruo a r modulo n» (→ congruenza modulo n). Le regole di calcolo nell’aritmetica modulo n, introdotta da C.F. Gauss nel 1801 insieme al simbolismo sulle congruenze, sono piuttosto semplici: basta eseguire i calcoli normalmente nell’insieme Z dei numeri interi e riportare il risultato modulo n mediante l’algoritmo della divisione con resto. Per esempio, in un’aritmetica modulo 4 si ha: 11 + 7 = 18 ≡ 2 (mod 4); in un’aritmetica modulo 5 si ha: 6 · 7 = 42 ≡ 2 (mod 5).
In una aritmetica modulare può accadere che il prodotto di due numeri non nulli sia nullo: per esempio, nell’aritmetica modulo 6 vale 2 · 3 = 6 ≡ 0 (mod 6). Ciò non accade solo quando il modulo n è un numero primo (Zn, insieme delle classi resto modulo n; → Galois, campo di).