aritmetica

aritmetica

aritmetica parte della matematica che studia le proprietà dei numeri, in particolare dei numeri naturali. L’aritmetica comprende le più elementari operazioni con i numeri che si studiano fin dalla scuola primaria. Alla sua base ci sono le quattro operazioni – addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione – e le nozioni a esse collegate, come quelle di numero primo, scomposizione di un numero in fattori primi, ricerca di criteri pratici di divisibilità, frazioni e calcoli a esse relativi. Gli sviluppi dell’aritmetica elementare, come la teoria delle congruenze, la distribuzione dei numeri primi, l’analisi indeterminata, rientrano propriamente nell’ambito della teoria dei numeri.

Poiché l’aritmetica si occupa degli oggetti che costituiscono le fondamenta dell’edificio matematico, è proprio nel suo ambito che si pongono gli interrogativi più profondi sulla coerenza e il significato dell’impianto della disciplina.

I problemi da cui muove l’aritmetica e le sue basi razionali affondano le radici nell’antica scienza mediorientale dei numeri. I rudimenti del calcolo erano già noti a babilonesi, fenici, egizi, indiani, ma solo con Pitagora e la sua scuola (v e iv secolo a.C.) l’aritmetica acquista una propria fisionomia, seppure come aritmo-geometria, cioè di studio di proprietà numeriche connesse alla loro interpretazione geometrica. Questa impostazione sarà messa in crisi dalla scoperta di grandezze incommensurabili. Ai pitagorici si deve la distinzione tra numeri pari e dispari, tra numeri primi e composti, l’introduzione dei numeri amicabili, dei numeri perfetti e della cosiddetta aritmetica geometrica che studia i numeri figurati (numeri triangolari, quadrati ecc.). Il primo vero trattato di aritmetica generale si trova negli Elementi di Euclide (ca 300 a.C.), dei quali i libri vii, viii e ix sono dedicati ai numeri interi e alle grandezze commensurabili (numeri razionali) e il libro x alle grandezze incommensurabili (numeri irrazionali). Significativi i contributi di Archimede (Arenario) e di Eratostene, il cui famoso «crivello» fornisce il metodo per trovare i numeri primi inferiori a un dato numero. Ma il pensiero matematico greco si caratterizza comunque come prettamente geometrico e considera i numeri più come indicatori di grandezze e forme che come oggetti di natura autonoma. Ulteriori sviluppi si hanno nell’ambito della cultura ellenistica e dei suoi più vasti interessi scientifici relativi all’indagine della natura: è in questo contesto che si collocano gli specifici studi di Diofanto di Alessandria (sec. iii d.C.), autore di un’opera intitolata Aritmetica, con il quale si compie il passaggio dall’aritmetica all’algebra e prende avvio l’analisi indeterminata. Nel medioevo vengono introdotte la notazione posizionale e le cifre arabe (Fibonacci, Liber abaci, 1202), e lo sviluppo dell’aritmetica resta legato a quello dell’algebra. Nel xvi secolo la riscoperta e la traduzione in latino dei libri superstiti dell’Aritmetica di Diofanto dà impulso all’indagine delle proprietà dei numeri che caratterizza l’aritmetica. Nel corso del secolo xvii vengono introdotti i logaritmi e si sviluppa la geometria analitica; dall’aritmetica e dall’algebra si distacca l’analisi matematica, mentre l’aritmetica assume la sua moderna veste di teoria dei numeri soprattutto grazie all’opera di B. Pascal e di P. de Fermat che iniziano a studiare una serie di proprietà dei numeri non strettamente legate alle esigenze pratiche del calcolo. Gli studi pionieristici di questi autori vengono proseguiti da I. Newton (Arithmetica generalis, 1707) e più tardi da A.-M. Legendre, K.F. Gauss («La matematica è la regina delle scienze, e l’aritmetica è la regina della matematica»), K.G. Jacobi, P.G. Dirichlet. Fra le grandi conquiste del pensiero matematico ottocentesco va ricordata la aritmetizzazione dell’analisi (→ analisi, aritmetizzazione dell’), che consiste nella riduzione, tramite strumenti di carattere logico-insiemistico, di tutta l’aritmetica, compresa la teoria numerica del → continuo, alle sole nozioni concernenti i numeri naturali. Con l’aritmetizzazione dell’analisi che, tra il xix e il xx secolo ha tra i maggiori artefici i tedeschi R. Dedekind e G. Cantor, il problema della fondazione dell’aritmetica, cioè di una sua giustificazione razionale, si concentra attorno a due questioni: il concetto di numero naturale e l’uso degli strumenti logico-insiemistici. Un significativo tentativo di teorizzazione di questi ultimi e di fondazione logica del concetto di numero naturale si deve al tedesco G. Frege.

Poiché tutti gli insiemi numerici fondamentali sono costruibili, per successivi ampliamenti, a partire dall’insieme N dei numeri naturali (→ ampliamento), una possibile sistemazione della matematica, almeno nel suo aspetto numerico, non può che muovere da una definizione rigorosa e formalizzata dei numeri naturali, ovvero da un sistema di assiomi che caratterizzi l’operare aritmetico. Un tale sistema si deve all’italiano G. Peano (→ Peano, assiomi di). Successivamente, nella prima metà del secolo xx, soprattutto attraverso i lavori di K. Gödel, si giunge alla conclusione che l’aritmetica, piuttosto che la logica, sia al centro della costruzione matematica e che quindi essa, come suggerisce la genesi ontogenetica dei concetti, debba essere al centro della riflessione sui fondamenti della matematica stessa. Il teorema di incompletezza dell’aritmetica (→ Gödel, teorema di) acquista pertanto il ruolo di cardine dell’analisi sulla fondatezza e sui limiti della costruzione razionale della matematica (→ aritmetica, sistema formale per la).