ASINTOTO

ASINTOTO (dal gr. ἀσύμπτωτος, ἀ privativo e συμπίπτω "coineido")

In geometria prende il nome di asintoto di una curva avente un ramo che va all'infinito, la retta limite (se esiste) della tangente a un punto del ramo di curva quando questo punto, muovendosi sulla curva, si allontana all'infinito. Un'idea della posizione relativa dell'asintoto rispetto alla curva ci è data dalla figura in cui la retta A B rappresenta l'asintoto della curva C.

1. Nella geometria dei Greci già si conosceva qualche caso di asintoto. Euclide tratta soltanto di quelli dell'iperbole e ne dà alcune proprietà; ma chi approfondì meglio quest'argomento fu Apollonio. Questo geometra, nello studiare le sezioni coniche, definì gli asintoti dell'iperbole come le rette che separano quelle che passano per il centro e secano l'iperbole da quelle che non la secano, e trovò molte proprietà degli asintoti, fra le altre la fondamentale: cioè che la distanza di un punto della curva dall'asintoto si può rendere minore di qualunque segmento dato.

Nicomede (vissuto fra il 250 e il 150 a. C.) descrive la Concoide che possiede pure un asintoto. Anche la cissoide di Diocle (epoca 250-100 a. C.) possiede un asintoto, ma questo era sconosciuto ai Greci, che limitavano lo studio di questa curva alla parte interna al cerchio base.

2. Nella moderna geometria asintotica, l'asintoto ad una curva piana è definito come limite della tangente alla curva, quando il punto di contatto si fa tendere all'infinito. L'equazione dell'asintoto è:

in cui X e Y sono le coordinate correnti dell'asintoto e i limiti sono presi per il punto all'infinito della curva. La distanza fra i punti della curva e l'asintoto è un infinitesimo il cui ordine dipende dalle derivate successive, analogamente alla distanza fra i punti della curva e una tangente ordinaria che dipende dalla curvatura.

3. Per la geometria proiettiva l'asintoto è una tangente in un punto improprio (o all'infinito) d'una curva piana; tangente che si può far diventare ordinaria con una proiezione e sezione. Lo studio dell'asintoto si riporta quindi a quello delle tangenti in punti proprî con tutte le loro singolarità. Un particolare degno di nota è che, se la tangente è ordinaria, la curva attraversa l'asintoto all'infinito; se la tangente è di flesso, la curva non l'attraversa.

4. Linee asintotiche di una superficie sono quelle curve la cui binormale coincide in ogni punto con la normale alla superficie, o, che è lo stesso, il cui piano osculatore coincide, punto per punto, col piano tangente alla superficie. L'equazione differenziale delle asintotiche d'una superficie, data sotto la forma z = f (x, y), è:

dove r, s, t hanno il solito significato di derivate parziali di secondo ordine. Per ogni punto della superficie passano due asintotiche che si potrebbero anche riguardare come inviluppo degli asintoti della indicatrice di Dupin. Le asintotiche sono reali nei punti iperbolici e coincidono con le generatrici nelle rigate. Le asintotiche si conservano per proiezione.

5. Lo studio di quelle proprietà dei numeri interi che si verificano soltanto al limite per numeri infinitamente grandi, forma lo scopo dell'aritmetica asintotica (v. aritmetica, § 16). P. es., il numero ϕ (x) dei numeri primi minori di x dà origine a una relazione di Legendre (Théorie des nombres)

che è sufficientemente approssimata solo per valori molto grandi di x; il Gauss (Op., II, pag. 435-447) dimostrò che lo stesso numero al tendere di x all'infinito tende a

Formule approssimate di ϕ (x) si debbono pure al Čebyšev (Tchebischeff); e formule esatte al Riemann e al Levi-Civita.

6. Proprietà asintotiche sono quelle proprietà che sarebbero vere, se si verificassero certe condizioni di limite. Se ne trovano in tutte le scienze fisiche e naturali: p. es., possono considerarsi come tali le leggi statistiche, in quanto conducono a risultati tanto più precisi quanto più grande è il numero degl'individui a cui esse si applicano.