scelta, assioma della

scelta, assioma della

scelta, assioma della o assioma di Zermelo, assioma della teoria degli insiemi, enunciato da E. Zermelo nel 1904, che asserisce quanto segue: data un’arbitraria famiglia non vuota X di insiemi non vuoti, esiste una funzione ƒ (detta funzione di scelta) definita su X che associa a ogni elemento A di X un elemento a di A, cioè tale che ƒ(A) ∈ A per ogni A ∈ X. In altre parole, e questo ne motiva il nome, la funzione di scelta ƒ estrae un elemento da ogni insieme contenuto nella famiglia X. I logici matematici K. Gödel e P. Cohen hanno mostrato che l’assioma della scelta è indipendente dagli altri assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel (ZF) (→ Zermelo-Fraenkel, teoria di): ciò vuol dire che sia esso sia la sua negazione sono consistenti con il sistema di assiomi ZF, cioè non portano a contraddizioni. Il lemma di → Kuratowski, il teorema del → buon ordinamento e il lemma di → Zorn sono tutti equivalenti all’assioma della scelta: aggiungendo agli assiomi di ZF ognuno di essi si dimostrano gli altri (ciò spiega anche i diversi appellativi di lemma, assioma o teorema assunti da queste proposizioni, perché rivestono un ruolo diverso a seconda di quale di essi si scelga come assioma). L’estrema utilità dell’assioma della scelta in svariati ambiti della matematica ha fatto sì che esso sia diffusamente accettato. Talvolta la teoria degli insiemi completata con l’assioma della scelta è indicata con ZFC (dove la lettera C sta per choice, cioè, in inglese, scelta).