Archimede, assioma di
Archimede, assioma di
Archimede, assioma di o assioma di Eudosso-Archimede, assioma (o postulato) della geometria elementare che asserisce che, dati comunque due segmenti di lunghezza rispettivamente s1 e s2, con s1 ≤ s2, esiste sempre un multiplo intero di s1 maggiore o uguale a s2. L’assioma di Archimede può essere generalizzato ad arbitrari campi ordinati: un campo ordinato K si dice archimedeo se vale in esso l’assioma di Archimede. Quindi, comunque si prendano x e y appartenenti a K e positivi, con x ≤ y, esiste un numero naturale n tale che y ≤ nx, cioè date due grandezze omogenee, esiste sempre un multiplo dell’una che supera l’altra. Un esempio di campo ordinato archimedeo è il campo R dei numeri reali. Va tuttavia osservato che esistono anche campi ordinati che non sono archimedei. Per esempio l’insieme dei numeri iperreali sui quali si basa l’analisi non standard costituisce un esempio di campo non archimedeo. In generale, l’aggettivo «archimedeo» (o la sua negazione) si attribuisce a una qualsiasi struttura algebrica ordinata se in essa vale (o, rispettivamente, non vale) l’assioma di Archimede. L’assioma, così formulato, è equivalente all’enunciato di Archimede: date due grandezze omogenee A e B, con A < B, se da B si toglie almeno la sua metà, dalla parte residua almeno la sua metà, e così di seguito, dopo un numero finito di passi si ottiene una parte residua più piccola di A.