assioma

assioma

assioma proposizione che si assume come vera e a partire dalla quale, tramite una catena di deduzioni, si dimostrano altre proposizioni dette teoremi. Mentre fino al xviii secolo gli assiomi erano considerati verità matematiche evidenti per sé stesse, che si accettavano senza dimostrazione, in seguito allo sviluppo delle geometrie non euclidee il requisito dell’evidenza è stato lasciato cadere, sicché oggi il termine assioma indica gli enunciati di partenza di una teoria dai quali ricavare deduttivamente i teoremi. In una visione formale della matematica fondata sulla logica, ogni sua branca (geometria euclidea, aritmetica, teoria dei gruppi ecc.) si fonda su assiomi che hanno una connotazione essenzialmente formale, soggetta a possibile interpretazione. Una teoria è caratterizzata da due tipi di assiomi, quelli propri della teoria stessa e gli assiomi logici comuni a ogni teoria del primo ordine. Gli assiomi logici che caratterizzano un sistema formale utilizzano alcuni simboli di un linguaggio e delle regole che permettono di costruire formule ben formate. Per esempio, in un linguaggio che utilizzi i segni ⇒ (da interpretarsi come «implica»), ¬ (da interpretarsi come «non») e le parentesi, per indicare precedenze, sono assiomi logici i seguenti (in cui A, B indicano formule ben formate qualunque):

• A ⇒ (¬A ⇒ B)

(da interpretarsi come «da un’affermazione e dalla sua negazione segue qualunque affermazione»: ex falso quodlibet);

• (¬A ⇒ ¬B) ⇒ (B ⇒ A)

(da interpretarsi come «se dalla negazione di A segue la negazione di B, allora da B segue A»).

Va osservato che, da un punto di vista formale, gli assiomi, con i loro segni, pur essendo oggetto di una possibile interpretazione (come è stato qui fatto per i due assiomi precedenti) rispondono a criteri puramente sintattici.

Ogni particolare teoria matematica ha poi assiomi propri. Per esempio, nella teoria dei gruppi si stabilisce che in un insieme G in cui sia definita l’operazione ∗ deve esistere un elemento neutro u, cioè un particolare elemento dell’insieme G per cui l’operazione tra un qualsiasi elemento g di G e u dia come risultato l’elemento g stesso:

L’insieme di assiomi propri di una teoria matematica, anche se, in una visione moderna, non deve necessariamente rispondere a criteri di evidenza, non può tuttavia essere arbitrario; per questo si parla più propriamente di sistema di assiomi, come insieme di assiomi che soddisfa alcune caratteristiche. Un sistema di assiomi deve infatti essere consistente (o, come anche si dice, non contraddittorio o, ancora, coerente): non deve cioè essere possibile ricavare da tale sistema un teorema e la sua negazione. È inoltre opportuno (ma non necessario) che gli assiomi siano tra loro indipendenti e cioè che nessuno di essi sia dimostrabile come teorema a partire dagli altri: in tale caso, infatti, poiché dimostrabile come teorema, esso sarebbe sovrabbondante. Se gli assiomi di una teoria sono tra loro indipendenti, il sistema di assiomi è anche detto sistema minimo di assiomi. Le geometrie non euclidee si svilupparono proprio dalla considerazione che l’assioma della parallela è indipendente dagli altri assiomi della geometria euclidea. Infine, un sistema di assiomi si dice completo per una teoria se, nel linguaggio di quella teoria, è sempre possibile dimostrare un enunciato A o la sua negazione ¬A. Tra i più importanti risultati della ricerca logica del xx secolo va annoverato il teorema di → Gödel, o teorema di incompletezza, che può essere così enunciato: «Se un sistema di assiomi dell’aritmetica è consistente, allora non è completo». Ciò significa che se si vuole un sistema di assiomi per l’aritmetica da cui non si possano dedurre contraddizioni, occorre rinunciare all’idea che in esso si possano dimostrare tutte le proposizioni vere dell’aritmetica stessa: esistono necessariamente delle proposizioni indecidibili, che non possono cioè essere dimostrate né essere rifiutate. La possibilità di esprimere in termini aritmetici, con particolari procedimenti (→ aritmetizzazione), gli enunciati di ogni teoria formale, assegna al teorema di Gödel una validità generale circa l’intrinseca incompletezza di una teoria formale.