assiomatica

assiomatica

assiomatica o teoria del metodo assiomatico o del metodo deduttivo, l’insieme delle questioni concernenti la metodologia delle teorie definite attraverso assiomi. Si è soliti distinguere il metodo assiomatico in contenutistico (o antico) e formale (o moderno). Il primo risale al matematico greco Euclide, il secondo nasce e si afferma nel secolo xix.

Secondo l’approccio assiomatico contenutistico, in una teoria vengono fissati alcuni concetti, riconosciuti come immediatamente intelligibili, detti concetti basilari, e alcune proposizioni particolarmente evidenti, dette assiomi. Ogni altro concetto della teoria è ottenuto per definizione a partire dai concetti basilari e ogni altra proposizione vera della teoria è ottenuta, mediante argomentazioni dimostrative, dagli assiomi. In tali argomentazioni si richiede il diretto riferimento alle proprietà intuitive dei concetti basilari.

Nel secolo xix la scoperta delle geometrie proiettive e, successivamente, delle nuove geometrie non euclidee e la nascita dell’algebra astratta posero in crisi la concezione degli assiomi come proposizioni evidenti. Con l’opera I fondamenti della geometria (1899) di D. Hilbert, si ebbe il primo compiuto esempio di applicazione della metodologia assiomatica formale. Secondo questo approccio, la funzione degli assiomi non è quella di stabilire asserzioni che fanno riferimento all’intuizione o all’evidenza. Gli assiomi sono soltanto asserzioni, formalmente espresse e aprioristicamente assunte come vere; dalla loro verità viene fatta discendere la verità di tutte le altre da esse deducibili attraverso l’applicazione di regole di deduzione. Essi devono includere tutte le possibili ipotesi concernenti i concetti basilari, dando di questi una definizione implicita. Per esempio, nell’impostazione hilbertiana non è definito o descritto che cosa si intenda per retta o punto; tali enti sono invece definiti dalle loro relazioni reciproche («per due punti passa una sola retta», «per un punto passano infinite rette» ecc.). Una teoria assiomatica organizzata secondo il metodo contenutistico è fondata dalla stessa evidenza degli assiomi. Una teoria assiomatica organizzata secondo il metodo moderno è invece fondata sulla dimostrazione della non contraddittorietà del sistema di assiomi posto alla sua base.