Hilbert, assiomi di
Hilbert, assiomi di
Hilbert, assiomi di assiomi della geometria introdotti da D. Hilbert nel 1899 nel testo Grundlagen der Geometrie (Fondamenti della geometria) per superare alcune contraddizioni e carenze del sistema assiomatico euclideo. Tali assiomi consistono in 21 proposizioni che, sostituite ai termini, ai postulati e alle nozioni comuni degli Elementi di Euclide, permettono di fondare in modo rigoroso e formale la geometria euclidea. In essi non c’è alcun tentativo, a differenza di quanto accade negli Elementi, di descrivere direttamente e in base alla “evidenza intuitiva” enti primitivi quali punto, retta e piano. Mentre, per Euclide, per esempio, «punto è ciò che non ha parti», nell’assiomatica hilbertiana il punto non è in alcun modo descritto e può essere qualsiasi oggetto, purché esso, formalmente, soddisfi determinati assiomi. Oltre a una definizione implicita degli enti geometrici, altra caratteristica importante dell’assiomatica di Hilbert è che in essa tutte le assunzioni fatte senza dimostrazione sono indistintamente chiamate assiomi, senza distinguere tra postulati e nozioni comuni. Gli assiomi di Hilbert sono suddivisi nei seguenti gruppi.
I - Assiomi di collegamento o assiomi di incidenza (riguardano le relazione di appartenenza tra enti primitivi):
1. per ogni coppia di punti distinti passa almeno una retta;
2. per ogni coppia di punti distinti passa una e una sola retta;
3. esiste almeno una terna di punti che non giacciono su una stessa retta;
4. tre punti non allineati appartengono almeno a un piano;
5. tre punti non allineati appartengono a un solo piano;
6. se due punti distinti di una retta r appartengono a un piano π allora tutti i punti di r appartengono a π;
7. se due piani contengono uno stesso punto, allora esiste almeno un altro punto contenuto in entrambi;
8. ogni retta contiene almeno due punti, ogni piano contiene almeno tre punti distinti ed esistono almeno quattro punti non appartenenti a uno stesso piano.
II - Assiomi di ordinamento (riguardano la relazione ternaria «stare tra»):
1. se un punto A sta tra i punti B e C, A sta anche tra C e B e i tre punti sono allineati;
2. dati due punti distinti A e B, esistono, sulla retta passante per A e B, due punti C e D tali che A sta tra C e B e B sta tra A e D;
3. dati tre punti distinti e allineati ce n’è esattamente uno che sta tra gli altri due;
4. dati tre punti non allineati A, B, C e una retta r appartenente al piano π passante per i tre punti, se r contiene un punto del segmento AB, allora r contiene anche un punto di uno dei due segmenti AC e BC, oppure contiene il loro punto comune (detto anche assioma di Pasch).
III - Assiomi di congruenza (permettono di trasportare, confrontare, sommare segmenti, angoli ecc.):
1. se A e B sono due punti di una retta r e A′ è un punto su r o su un’altra retta r′, si può sempre trovare un punto B′, da una data parte della retta r′ rispetto ad A′, tale che il segmento AB sia congruente al segmento A′B′. Cioè AB ≡ A′B′;
2. la relazione di congruenza tra segmenti è transitiva: se AB ≡ A′B′ e A′B′ ≡ A″B″ allora AB ≡ A″B″;
3. siano AB e BC segmenti di una retta r privi di punti interni comuni e siano A′B′ e B′C′ segmenti di una retta r′ privi di punti interni comuni, se AB ≡ A′B′ e BC ≡ B′C′, allora AC ≡ A′C′;
4. dati un angolo AB̂C e una semiretta B′C′, esistono e sono uniche due semirette B′D e B′E, tali che l’angolo DB̂′C′ è congruente all’angolo AB̂C e l’angolo EB̂′C′ congruente all’angolo.
5. la relazione di congruenza tra angoli è transitiva:
6. se in due triangoli ABC e A′B′C′ si ha che AB = A′B′ e AC = A′C′ e l’angolo BÂC è congruente all’angolo B′ÂC′, allora il triangolo ABC è congruente al triangolo A′B′C′.
IV - Assioma della parallela (equivale al v postulato degli elementi di Euclide): dati un punto P, una retta r non passante per P e un piano π contenente entrambi, esiste al più una retta in π contenente P e non contenente alcun punto di r.
V - Assiomi di continuità:
1. se AB e CD sono due qualsiasi segmenti, allora esiste sulla retta contenente A e B una famiglia di punti A1, A2, …, An tali che i segmenti AA1, A1A2, …, An−1An sono congruenti a CD e tali che B giace tra A e An (detto anche assioma di Archimede);
2. aggiungendo un punto a una retta si ottiene un oggetto che non soddisfa più gli assiomi di ordinamento, di collegamento, gli assiomi 1 e 2 di congruenza e l’assioma 1 di continuità (assioma di completezza lineare).