autovalore
autovalore
autovalore o valore proprio o valore caratteristico, in una trasformazione lineare invertibile del piano definita da una matrice A di dimensioni 2 × 2, è un numero reale non nullo λ per il quale esiste un vettore v tale che Av = λv: nella trasformazione, quindi, tale vettore, che è detto autovettore associato all’autovalore, non modifica la sua direzione, ma subisce una dilatazione di rapporto λ. La definizione si generalizza a un qualunque spazio vettoriale V su un campo K sul quale sia stabilita una trasformazione lineare T: in tale caso λ è uno scalare del campo K. L’insieme degli autovalori della trasformazione è detto spettro puntuale della trasformazione. Se V ha dimensione finita n e A è la matrice della trasformazione T rispetto a una qualunque base di V, gli autovalori sono le soluzioni in K dell’equazione caratteristica relativa alla matrice A, data da det (A − λI) = 0, in cui I è la matrice identica; si dice anche che λ è un autovalore della matrice A. Se K è il campo dei numeri complessi, esistono n autovalori in virtù del teorema fondamentale dell’ → algebra, in quanto det (A − λI) è un polinomio di grado n: se, e solo se, la molteplicità di ogni distinta radice λ dell’equazione caratteristica (molteplicità algebrica di λ) è uguale alla sua molteplicità geometrica (data dalla differenza tra n e il rango della matrice A − λI per lo stesso valore di λ), la matrice A è diagonalizzabile, ossia esiste una matrice invertibile P tale che P−1AP = D, essendo D una matrice diagonale in cui gli autovalori compaiono con le loro molteplicità. Tali sono le matrici hermitiane, simmetriche nel caso reale, i cui autovalori sono reali e per le quali P è unitaria (ortogonale nel caso reale), le colonne di P essendo gli autovettori (ortogonali) di A. Per alcuni dei risultati validi in spazi di dimensione finita esistono gli analoghi nel caso di spazi di dimensione infinita. Per esempio, se T è un operatore autoaggiunto in uno spazio di Hilbert, i suoi autovalori sono reali e le autofunzioni corrispondenti ad autovalori distinti sono ortogonali. Se T è autoaggiunto e compatto, esiste una base ortogonale dello spazio composta di autovettori xn corrispondenti agli autovalori λn: ogni elemento x dello spazio si scrive univocamente nella forma
dove Tz = 0 e, se il sistema degli xn è infinito, la successione degli autovettori ha limite zero (→ autofunzione).