balìstica

balistica

balìstica [Der. dell'agg. balistico] [MCC] Disciplina che studia i problemi del moto di corpi scagliati, e specific. il moto di proietti lanciati da armi da fuoco, sia entro l'arma (b. interna, che implica essenzialmente questioni di chimica e di chimica fisica), sia, principalmente, fuori dell'arma (b. esterna, o b. propr. detta, che è semplic. una parte della dinamica); in essa si dovrebbero comprendere, attualmente, anche i problemi relativi alla dinamica di razzi e missili, ma, per la specificità di essi, si preferisce fare riferimento a una disciplina apposita, la missilistica. ◆ [MCC] B. esterna: dei problemi della b. esterna si sono occupati i maggiori matematici e fisici, da N. Tartaglia a G. Galilei, a I. Newton, ecc. Un rapido sguardo allo sviluppo della b. esterna vale a dare un'idea del cammino compiuto in quattro secoli. Nel 1537 Tartaglia affermò per primo che la traiettoria percorsa dal proietto non può essere in alcuna sua parte perfettamente rettilinea; osservò però che in alcuni tratti essa è cosi poco curva da potersi considerare quasi retta e la disegnò quindi come composta da due tratti rettilinei, uno secondo la linea di proiezione e l'altro verticale, raccordandoli con un arco di cerchio; riconobbe pure che l'angolo di massima gittata è di 45° e che con angoli complementari si ottengono gittate uguali. Circa un secolo dopo, la b. compì un gigantesco passo: Galilei gettò le basi della dinamica e la b. assunse, quale parte della meccanica, forma matematica. Astraendo dalla resistenza dell'aria, Galilei concepì il moto del proietto come risultante di due movimenti, uno rettilineo uniforme e l'altro verticale uniformemente vario, e ne dedusse che in queste condizioni la traiettoria è una parabola. Con Newton (1710) il problema balistico si sdoppiò in problema sperimentale e analitico: il primo fu da lui impostato con esperienze sulla caduta dei gravi, mentre il secondo fu risolto nell'ipotesi di resistenza proporzionale alla velocità. Nel 1719 J. Bernoulli riuscì a integrare le equazioni del moto del proietto nel caso di resistenza proporzionale a una potenza qualsiasi della velocità. Alle ricerche di Bernoulli e di Newton si ricollegano quelle, notevoli tra tutte, di Eulero, di G.B. d'Alembert e del generale prussiano J.C.F. Otto. Intanto nel 1741 il fisico inglese B. Robins inventò il pendolo balistico, poi perfezionato in Francia intorno al 1840, che consentì di determinare sperimentalmente la velocità del proietto in un punto qualunque della traiettoria. Una vera rivoluzione fu provocata dall'adozione dei proietti d'artiglieria cilindro-ogivali, rotanti attorno al loro asse longitudinale, dovuta al generale italiano G. Cavalli; infatti, la rigatura dell'arma, dando luogo a un forte movimento di rotazione del proietto, introduce nelle equazioni del moto altre variabili, per cui la loro integrazione diventa difficile se non impossibile. Venivano intanto inventati i cronografi elettrici, che erano impiegati nelle esperienze istituite nel 1859-60 per verificare il comportamento dei proietti oblunghi, e quasi contemporaneamente P. Ballada de Saint-Robert pubblicò (1855) il suo trattato Del moto di proietti nei mezzi resistenti, nel quale dava forma semplice ed elegante alle equazioni differenziali del movimento e ricavava le proprietà della traiettoria. Successiv. F. Siacci dette una soluzione di pratico impiego del problema fondamentale della b. esterna, ricondotto all'uso di una tavola di tiro a semplice entrata, chiamata "Tavola b. generale". Inoltre il Siacci, riprendendo il problema del d'Alembert, che nel 1744 era riuscito a trovare 4 forme della legge di resistenza che permettevano di ridurre il problema balistico alle quadrature, dette ben 14 di tali forme. Alla scuola di Siacci si formavano valorosi discepoli quali C. Parodi, E. Cavalli e G. Bianchi. Tra i cultori stranieri di b. sono da ricordare spec. i francesi E. Vallier (al quale è dovuto un metodo di calcolo della traiettoria per archi successivi), P. Charbonnier e G. Sugot, il tedesco C. Cranz e i russi N. Zabudshij e V. Majevskij. Gli elementi caratteristici del moto dei proietti sono (fig. 1): la linea di proiezione (o di tiro) l, semiretta della velocità iniziale v₀; l'angolo di proiezione α, angolo che la velocità iniziale del proietto v₀ forma con l'orizzonte Ox della bocca da fuoco O, il piano di tiro, piano verticale contenente la velocità iniziale (cioè, nella fig., il piano Oxy); il punto di caduta C, punto in cui la traiettoria riattraversa l'orizzonte della bocca da fuoco; la gittata G, distanza tra la bocca da fuoco O e il punto di caduta C; la durata, tempo che il proietto impiega a passare da O in C; l'altezza del tiro, massima quota raggiunta dal proietto rispetto a Ox, cioè l'altezza H su Ox del vertice V della traiettoria; l'abbassamento A del proietto per una data ascissa x, dislivello in valore assoluto fra i due punti giacenti rispettiv. sulla traiettoria e sulla sua tangente in O; l'abbassamento totale, quello corrispondente alla gittata; la linea di sito, la semiretta uscente da O e passante per il bersaglio S; l'angolo di elevazione (o di alzo), l'angolo β che OS forma con la linea di proiezione l; l'angolo di sito, l'angolo γ che OS forma con l'orizzontale Ox. In prima ma assai grossolana approssimazione, per i fini pratici il moto dei proietti può essere studiato trascurando la rotazione terrestre e la resistenza dell'aria. L'unica forza alla quale il proietto è soggetto è allora quella di gravità: in tal caso il moto è ad accelerazione vettoriale costante, la traiettoria è una parabola ad asse verticale contenuta nel piano di tiro, volgente la concavità verso il basso e uscente dalla bocca da fuoco tangenzialmente alla velocità iniziale. Si ha precis.: (a) equazione della traiettoria: y=-gx2/ (2v₀2 cos2α)+xtanα (g indica la grandezza dell'accelerazione di gravità); (b) altezza del tiro, H=(v₀2 sin2α)/(2g): la massima altezza si ha, a parità di v₀, per α = 90° (tiro verticale) e vale Hmax=v₀2/(2g); (c) gittata, G=v₀2 sin(2α)/g: la gittata massima si ha per α = 45° e vale Gmax=v₀2/g (il doppio dell'altezza massima Hmax); (d) abbassamento, A(x)= gx2/(2v₀2 cos2α): l'altezza del tiro è la quarta parte dell'abbassamento totale. Assegnata v₀, si consideri la parabola di sicurezza (a nella fig. 2), inviluppo delle ∞1 traiettorie paraboliche che si ottengono tenendo fissa la velocità iniziale v₀ e facendo variare l'angolo di proiezione α, cioè la parabola di equazione y=-gx2/(2v₀2)+ v₀2/(2g): se un bersaglio S è esterno alla parabola di sicurezza, non c'è nessuna traiettoria che vi passi ed esso non può essere raggiunto; se S è sulla parabola, vi è una sola traiettoria (p) che passa per S; se è interno, ve ne sono due: se è il ramo ascendente che vi passa, si ha il tiro di lancio (q), se è il ramo discendente, il tiro arcato (r). I risultati che si ottengono trascurando la resistenza dell'aria (e la rotazione terrestre) sono, come si è detto, assai grossolani e inapplicabili in pratica alle moderne artiglierie (per es., per un proiettile di fucile animato inizialmente da una velocità di 625 m/s, le relazioni precedenti darebbero una gittata massima, corrispondente ad α = 45°, di 40 km e un'altezza massima di tiro di 4 km, mentre l'esperienza dà una gittata massima di poco superiore a 3 km, in corrispondenza a un angolo di proiezione di ²32°, e un'altezza massima di tiro non superiore a 500 m). Per la resistenza dell'aria, l'esperienza suggerisce un'espressione del tipo f(v)=μiF (v)/C, dove f è la resistenza riferita all'unità di massa, cioè l'accelerazione negativa che subisce il proietto (detta perciò ritardazione), μ la densità dell'aria, i un coefficiente di forma del proietto, C il cosiddetto coefficiente balistico, uguale a p/(100 a2), dove p è il peso in kg del proietto e a il diametro dello stesso in metri, F(v), funzione resistente, una funzione della sola velocità definita dalla relazione: [F(v)-0.365v+96] [F(v)-0.354v+ 0.10]=9.6. Nell'ipotesi che la resistenza dell'aria sia quasi direttamente opposta alla velocità, il moto risulta piano e le equazioni del moto si scrivono (Ballada de Saint-Robert): dx/dφ=-v2/g, dy/dφ=-v2/g(tanφ), dφ/dt= -(gcosφ)/v, ds/dφ= -v2/(gcosφ), d/dφ(vcosφ)= vf(v)/g, nelle quali φ è l'angolo formato dal versore della tangente con l'asse x (inclinazione della traiettoria: fig. 1). L'ultima di queste equazioni prende il nome di odografa e rappresenta la vera chiave di volta del problema balistico in quanto la sua integrazione permette di ridurre alle quadrature l'integrazione delle altre quattro. In generale, l'integrazione esatta si sa eseguire solo per forme molto particolari della f(v), tra le quali quella indicata dal Bernoulli, f=a+bvn, che per n=2 si riduce al caso delle resistenze idrauliche. In ogni caso, dall'esame delle equazioni si può ricavare un andamento qualitativo del moto e precis. si vede che la traiettoria atmosferica, come quella parabolica, volge la concavità verso il basso lungo tutto il suo percorso e ha due archi: uno ascendente sino a un vertice in cui la tangente è orizzontale, e uno discendente; a differenza però della traiettoria parabolica, la traiettoria atmosferica presenta un asintoto verticale. Quanto all'integrazione dell'odografa, poiché le varie forme della resistenza corrispondono alla resistenza reale solo in casi particolari e per zone molto limitate del campo di variabilità della velocità, si è cercato di far ricorso a procedimenti approssimati, numerici o grafici, ovvero di alterare opportunamente la forma della resistenza. Dopo i tentativi di Dion e Ballada de Saint-Robert, Siacci intuì che l'introduzione di una nuova variabile, funzione della velocità del proietto, poteva portare alla soluzione del problema. La nuova variabile u, detta pseudovelocità, legata alla velocità v dalla u=vcosφ/cosα, introdotta nelle equazioni di Ballada de Saint Robert, le rende integrabili. Il metodo di Siacci, con modalità e adattamenti vari, è ormai adottato quasi unanimemente. Per uno studio più approfondito del problema balistico quanto si è detto non basta più, perché non è più lecito schematizzare il proietto in un punto materiale e occorre far capo alle equazioni cardinali della meccanica. È solo per questa via che si possono affrontare i cosiddetti problemi secondari della b. esterna, tra i più importanti dei quali sono quelli dovuti alla derivazione, al vento, alle correzioni gravitazionali, ecc. ◆ [MCC] B. interna: al suo sviluppo hanno assai più contribuito la pratica e il caso che non le ricerche teoriche; essa comprende: (a) lo studio della combustione della polvere sia a volume costante (pirostatica), sia a volume variabile entro la bocca da fuoco (pirodinamica), facendo uso delle leggi della dinamica e di quelle della termodinamica; (b) l'interpretazione delle esperienze eseguite e la determinazione delle costanti e dei coefficienti che intervengono nel problema; (c) la progettazione di tipi nuovi o modificati di bocche da fuoco. Nel settore della pirostatica, in Inghilterra A. Noble e F.A. Abel, sulla base di esperienze eseguite mantenendo costante il volume e impiegando polvere nera, dettero nel 1874 per la pressione massima p dei gas di combustione la formula, nota come formula pirostatica, p=fd/(1-αd), in cui d è la densità di caricamento (cioè il rapporto tra la massa dell'esplosivo e il volume della camera di combustione), f una costante caratteristica dei gas prodotti, detta forza dell'esplosivo (dimensionalmente, è un'energia divisa per una massa), α una costante che rappresenta il covolume dei gas di combustione. La formula fu estesa poi a polveri infumi; altre formule, sostanzialmente non molto diverse quanto ai risultati, furono proposte da studiosi e sperimentatori diversi. Il fenomeno della combustione è molto complesso e si svolge attraverso diverse fasi: infiammazione, propagazione di essa, combustione dei grani; per tradurlo in forma analitica occorre fare alcune ipotesi semplificative e cioè: (a) l'infiammazione della carica è istantanea e contemporanea in tutti i punti del grano; (b) la combustione procede per strati paralleli dall'esterno all'interno del grano; (c) la velocità di combustione u è legata alla pressione p dalla relazione u=wpr, in cui w e r sono costanti dipendenti dalla natura fisica, nonché, generalm., dalla forma e dalle dimensioni dei grani dell'esplosivo. Le costanti caratteristiche delle polveri sono determinate mediante prove di combustione a volume costante effettuate con adatti dispositivi. La pressione del gas nella fase dinamica iniziale ha il valore dato dalla precedente relazione pirostatica; poi, una volta che il proietto, vinte le resistenze che si oppongono al suo moto, comincia ad avanzare, essa varia con legge diversa, aumentando fino a un valore massimo per poi decrescere; quando tutta la carica è bruciata, la pressione diminuisce secondo una legge che, data la rapidità del fenomeno, si può ritenere adiabatica. Abitualmente si raccolgono in un unico diagramma cartesiano (v. fig.) i diagrammi delle varie grandezze che si ha interesse di considerare nella b. interna, riportando sull'asse delle ascisse il percorso l del proietto lungo l'anima dell'arma, su quello delle ordinate, in opportune scale, la pressione p del gas che si sviluppa nell'esplosione della carica di lancio, la resistenza passiva specifica π, dovuta alla corona di forzamento del proietto, la velocità v del proietto. Si è già detto dell'andamento della pressione. Si osservi l'andamento della resistenza passiva π: essa ha il suo massimo all'inizio del moto ma scende rapidamente a un valore che resta poi pressoché costante. Il moto, accelerato, ha inizio allorché la pressione p ha raggiunto un valore p₀, uguale al valore iniziale di π. L'area della zona compresa tra l'asse delle ascisse, quello delle ordinate e il diagramma della pressione p, è proporzionale al lavoro totale; l'area della zona compresa tra i diagrammi di p e di π (in grigio nella fig.) è invece proporzionale al lavoro utile. Il punto di incontro dei diagrammi di p e di π individua la lunghezza l₀ dell'arma. La pirodinamica fa capo, dal punto di vista analitico, a tre equazioni che permettono di studiare: la prima, il moto del proietto per azione dei gas prodotti dalla combustione; la seconda, il procedere della combustione della polvere nella bocca da fuoco; la terza, detta anche equazione fondamentale della pirodinamica, o equazione di Resal e Sarrau, il bilancio fra l'energia ottenibile dalla carica e quella sfruttata. In tali equazioni intervengono vari coefficienti di natura sperimentale. Con la locuz. problema principale della b. interna la risoluzione analitica delle dette equazioni fondamentali è stata studiata da numerosi autori che, con le loro ricerche, hanno dato solide basi razionali alla b. interna moderna. Oltre a metodi basati sulla risoluzione rigorosa delle equazioni, trovano tuttora applicazione metodi semiempirici, che danno luogo a formule semplici, di comoda applicazione e di sufficiente approssimazione per le necessità pratiche. Vanno ancora ricordati metodi di calcolo puramente empirici, che hanno costituito la base della b. interna fino al secolo scorso e che vengono ancora impiegati per la loro grande praticità. Le esperienze di b. interna consentono di determinare le costanti caratteristiche da introdurre nei calcoli e di controllare l'esattezza dei calcoli stessi.