biforcazione

biforcazione

biforcazione in generale, insieme di punti che determina una separazione di una struttura geometrica in più parti o rami. Per esempio, il semiasse negativo reale Re(z) < 0 del piano complesso rappresenta una biforcazione per il grafico della funzione reale a valori complessi

In una classe di sistemi dinamici definiti implicitamente da un sistema di equazioni differenziali dipendenti da un parametro λ del tipo x′(t) = ƒ(x(t), λ) si chiamano biforcazioni quei valori di λ per cui il sistema non è strutturalmente stabile, ossia una piccola perturbazione parametrica del sistema ne cambia qualitativamente la dinamica. Se si pensa a una soluzione del sistema x′(t) = ƒ(x(t), λ) come funzione di λ (e in questo caso la funzione si chiama ramo di soluzione), viene detto punto di biforcazione un valore del parametro da cui emergono diversi rami.

Le biforcazioni possono essere di diversi tipi; i casi più significativi sono:

• biforcazione tangente (fold): passaggio da nessun punto fisso a due punti, uno stabile e uno instabile;

• biforcazione transcritica o cambio di stabilità: si ha quando due punti fissi si scambiano la stabilità;

• biforcazione a forcella (pitchfork): in essa un punto fisso stabile diviene instabile, mentre nascono due nuovi punti stabili;

• biforcazione di raddoppio del periodo (flip): si ha quando un punto fisso si trasforma in un ciclo di periodo 2.

Più in generale, nell’ambito delle equazioni differenziali, non solo ordinarie ma anche alle derivate parziali, dipendenti da un parametro λ, si indica con il termine biforcazione il punto di diramazione lungo un ramo di soluzioni; il nuovo ramo di soluzioni si può ulteriormente biforcare e in tal caso si parla di biforcazioni secondarie.