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birapporto

Enciclopedia della Matematica (2013)
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birapporto


birapporto nella geometria proiettiva, il birapporto di quattro punti allineati A, B, C, D, disposti sulla retta orientata, è il numero reale

formula

essendo AC, BC, AD, BD le misure con segno delle distanze tra i rispettivi punti, espresse in un’unità di misura arbitraria. Il birapporto è generalmente indicato con la scrittura (ABCD). Dalla sua definizione segue che esso risulta indipendente dall’orientamento della retta, dalla scelta dell’origine e dell’unità di misura. Se A e B precedono o seguono C e D oppure sono entrambi compresi tra C e D o ancora se C e D sono entrambi compresi tra essi, il birapporto ha segno positivo. Se A, B, C,D si alternano ha segno negativo. Si ha inoltre:

• (ABCD) = 0 se A = C oppure B = D;

• (ABCD) = 1 se A = B oppure C = D;

• (ABCD) tende a infinito se B tende a C oppure A tende a D;

• (ABCD) ≠ 0 e (ABCD) ≠ 1 se A, B, C, D sono quattro punti distinti.

Se si ha (ABCD) = −1, ai quattro punti si dà il nome di → quaterna armonica. Modificando l’ordine in cui vengono presi i quattro punti, si ottengono 24 diverse sequenze (permutazioni), ma si hanno soltanto sei diversi valori del birapporto k.

Poiché il rapporto semplice di tre punti allineati è dato da (ABC) = AC/BC, si ha

formula

Il birapporto è quindi il rapporto di due rapporti semplici. La definizione di birapporto si estende a quattro rette di un fascio, nel modo che segue

formula

Il birapporto delle quattro rette, così definito, è uguale al birapporto dei rispettivi quattro punti in cui esse sono intersecate da una qualsiasi retta del piano. Si ha infatti (abcd) = (ABCD) = (A′B′C′D′). Il birapporto di quattro elementi è invariante per trasformazioni proiettive, mentre non si conserva in una trasformazione affine. Come nozione propria della geometria proiettiva, esso può essere applicato anche a punti e rette improprie, poiché questi oggetti, in ambito proiettivo, non sono distinti da punti e rette propri. Il birapporto risulta inoltre invariante per inversioni circolari. Si osservi infine che la nozione di birapporto può essere estesa anche a quattro punti appartenenti a una conica. In tal caso esso è definito come il birapporto delle corrispondenti quattro rette che proiettano i punti dati da un punto qualsiasi della conica stessa.

Il birapporto di quattro piani di un fascio è il birapporto dei quattro punti intersezione con una retta sghemba rispetto all’asse del fascio.

BIRAPPORTO
BIRAPPORTO
BIRAPPORTO

Vedi anche
Felix Klein Matematico tedesco (Düsseldorf 1849 - Gottinga 1925). Autore di rilevanti contributi alla geometria, realizzò una classificazione di tale materia fondata sul concetto di gruppo, studiò le superfici algebriche (in topologia l'otre di K. è una superficie non orientabile a una sola faccia) e si interessò ... numero reale Ogni numero relativo razionale o irrazionale. I numeri r. sono dati, perciò, da tutti i possibili sviluppi decimali sia limitati sia illimitati, e questi ultimi sia periodici sia sprovvisti di periodo. Due differenti ordini di problemi suggerirono ai matematici l’opportunità di introdurre i numeri reali. ... Michel Chasles Matematico (Épernon 1793 - Parigi 1880). Nel 1837 conquistò grande fama con il suo Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géometrie, che si conclude con i risultati originali dello Ch. sulla dualità e l'omografia. Fu dal 1846 prof. di geometria superiore alla Sorbona; la ...
Tag
  • TRASFORMAZIONE AFFINE
  • GEOMETRIA PROIETTIVA
  • UNITÀ DI MISURA
  • NUMERO REALE
Altri risultati per birapporto
  • birapporto
    Enciclopedia on line
    In geometria proiettiva rapporto di due rapporti semplici (detto anche rapporto doppio o anarmonico): precisamente, dati quattro elementi di una forma di prima specie, in un dato ordine, il loro b. è il rapporto dei due rapporti semplici, del primo, secondo e terzo di essi, e del primo, secondo e quarto. ...
  • birapporto
    Dizionario delle Scienze Fisiche (1996)
    birappòrto [Comp. di bi- e rapporto] [ALG] Nella geometria proiettiva, rapporto di due rapporti semplici; precis., dati quattro elementi di una forma di prima specie, in un dato ordine, a,b,c,d, il loro b. è il rapporto dei due rapporti semplici del primo, secondo, terzo e del primo, secondo, quarto, ...
Vocabolario
birappòrto
birapporto birappòrto s. m. [comp. di bi- e rapporto]. – In geometria proiettiva, il rapporto (detto anche doppio rapporto o rapporto anarmonico) tra due rapporti semplici, invariante rispetto alle operazioni di proiezione e di sezione:...
anarmònico²
anarmonico2 anarmònico2 agg. [comp. di ana- e armonico]. – In matematica, rapporto a., lo stesso che birapporto.
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