PROBABILITA, CALCOLO DELLE

PROBABILITÀ, CALCOLO DELLE (XXVIII, p. 259)

DELLE Come disciplina matematica, ha avuto, nell'ultimo trentennio, un ampio sviluppo. Si nota anzitutto una forte tendenza a studî di carattere critico sui fondamenti del calcolo stesso, volti per lo più al tentativo di assiomatizzarlo. Si è cercato cioè di stabilire un gruppo di proposizioni fondamentali (assiomi), a partire dalle quali fosse possibile sviluppare la teoria matematica delle probabilità per mezzo di sole deduzioni logiche, vale a dire senza più valersi di alcun riferimento al significato concreto di probabilità. Tentativi di questo genere, secondo diversi punti di vista, sono dovuti a S. Bernstein (1917), R. von Mises (1919), A. Kolmogoroff (1929) e E. Tornier (1936).

Tutte queste impostazioni conducono a considerare le cosiddette variabili casuali il cui studio costituisce l'oggetto fondamentale della teoria. In questa, ogni variabile casuale X è rappresentata, di solito, dalla sua funzione di ripartizione U(x) [che, per ogni numero reale x, esprime la probabilità che, in una prova, la X assuma un valore non superiore a x] oppure dalla sua funzmne caratteristica u(s) [che è la trasformata di Fourier-Stieltjes della U(x), ossia, per ogni valore reale del parametro s, è espressa dalla formula

ove i è l'unità immaginaria

e l'integrale deve essere interpretato nel senso di Stieltjes]. Ma si può pur far corrispondere alla X una funzione f(t), definita per 0 ≤ t ≤ 1 e misurabile (secondo la definizione di Lebesgue), tale che, per ogni fissato numero reale x, l'insieme dei punti t ove risulta f(t) ≤ x abbia misura uguale alla funzione di ripartizione U(x); questo punto di vista, dovuto a F. P. Cantelli, 1932, ha posto nuovi interessanti problemi sulla teoria della misura. Ognuna delle funzioni U(x), u(s), f(t) definisce la legge di probabilità seguita dalla variabile casuale X ed assai numerose sono le questioni che si pongono relativamente a tali leggi e le applicazioni che se ne possono trarre.

Circa i sistemi di variabili casuali, le ricerche si sono volte soprattutto al caso delle variabili casuali indipendenti. Prevalgono quelle destinate allo studio della legge di probabilità seguita dalla somma di un gran numero di variabili casuali indipendenti. Notevoli risultati si sono ottenuti in relazione al classico teorema asintotico di Laplace-Liapounoff (che, grosso modo, può enunciarsi dicendo che la predetta somma tende a seguire la legge normale di Gauss), attenuando sempre più le condizioni per la sua validità ed arrivando a stabilire che la cosiddetta condizione di J. W. Lindeberg, data come sufficiente nel 1922, è anche necessaria (W. Feller, 1935).

Di minor rilievo sono gli studî sui sistemi di variabili dipendenti, giacché il solo argomento veramente approfondito è quello delle catene di Markoff. Si consideri una variabile casuale X per la quale siano possibili i valori α₁, α₂, ..., α_r. Una successione illimitata di prove fornisca per la X i successivi valori x₀, x₁, x₂, ..., x_n, .... (naturalmente ogni x_n è uguale ad uno dei numeri α₁, α₂, ..., α_r) in modo che la probabilità che all'n-esima prova risulti x_n = α_k dipenda, oltre che dall'indice k, anche dall'indice h che spetta al valore x_n-1 = α_h fornito dalla prova precedente. La successione x₀, x₁, x₂, ..., x_n, .... costituisce una catena semplice di Markoff. Si possono anche avere catene multiple quando la predetta probabilità dipenda da due o più dei termini precedenti l'n-esimo. Anche per queste catene si pongono problemi di carattere asintotico, che hanno dato origine ad un gran numero di lavori ed a svariate applicazioni (M. Fréchet, B. Hostinsky, G. Mihoc, O. Onicescu, ecc.).

Bibl.: A. Kolmogoroff, Grundbegriffe der Wahrescheinlichkeitsrechnung, in Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, II, iii, Berlino 1933; A. Khintchine, Asymptotische Gesetze der Wahrescheinlichkeitsrechnung, in Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, II, iv, Berlino 1933; E. Tornier, Wahrscheinlichkeitsrechnung und allgemeine Integrationstheorie, Lipsia e Berlino 1936; H. Cramer, Random variables and probability distributions, Cambridge 1937; P. Lévy, Théorie de l'addition des variables aléatoires, Parigi 1937; M. Fréchet, Recherches théoriques modernes sur le calcul des probabilités, I e II, Parigi 1938; W. Feller, The fundamental limit theorems in probability, in Bulletin of the American Mathematical Society, LI (1945), pp. 800-832; H. Cramer, Mathematical methods of Statistics, Princeton 1946.