variabile, cambiamento di

variabile, cambiamento di

variabile, cambiamento di tecnica di grande generalità che consente di semplificare i problemi rendendoli più facilmente affrontabili da un punto di vista non solo analitico, ma anche numerico. Essa si applica, per esempio: alla ricerca delle primitive di una funzione (→ integrazione per sostituzione); agli → integrali multipli; alle → equazioni differenziali nonché ai → sistemi differenziali. In ogni caso, tale tecnica consiste nel sostituire a una variabile (dipendente o indipendente) un’altra a essa legata da una corrispondenza in genere biunivoca, allo scopo di ottenere una formula più semplice o comunque più agevolmente trattabile analiticamente o numericamente. Un cambiamento di variabile deve essere invertibile, e quindi richiede condizioni che sovente si esprimono mediante l’ipotesi di derivata non nulla (in una variabile) o di determinante jacobiano non nullo (in più variabili). Per esempio, a partire da una funzione ƒ definita su un insieme E, si costruisce una funzione g definita da g(t) = ƒ(u(t)), essendo u una funzione definita in un certo insieme E₁ a valori in E e assumendo x = u(t): il cambiamento di variabile consiste nella sostituzione di x con u(t). Così, la funzione

definita per |x| ≤ 1, mediante il cambiamento di variabile x = cos(t), 0 ≤ t ≤ 2π si trasforma nella funzione

In senso più lato, tra i cambiamenti di variabile rientrano le manipolazioni delle equazioni algebriche volte a trovare metodi immediati di soluzione, le equazioni delle trasformazioni geometriche che facilitano la risoluzione di sistemi (si veda, per esempio, → sistema simmetrico), nonché le trasformazioni integrali, in particolare quelle di → Laplace e di → Fourier.