Galois, campo di

Galois, campo di

Galois, campo di o campo finito, campo costituito da un numero finito di elementi. Due campi di Galois che abbiano la stessa cardinalità m sono necessariamente isomorfi: si parla dunque del campo di Galois di cardinalità m, che viene indicato con i simboli GF(m) o F_m (da Galois Field). Esempi di campi di Galois sono offerti dagli insiemi Z_p delle classi resto modulo un numero primo p, dotati delle operazioni di addizione e moltiplicazione naturalmente ereditate dall’insieme Z dei numeri interi nel passaggio all’insieme quoziente rispetto alla relazione di congruenza modulo p (→ Z_n): poiché Z_p ha cardinalità p, esso coincide con il campo di Galois GF(p). Ogni campo di Galois F contiene esattamente un sottocampo isomorfo a Z_p, per un opportuno numero primo p: tale p coincide con la caratteristica del campo F; se inoltre con n = [F : Z_p] si indica il grado dell’estensione F ⊇ Z_p, allora F ha cardinalità pⁿ. Detto altrimenti, se F = GF(m), allora m = pⁿ, dove p = char(F) e dove n = [F : Z_p]. Viceversa, per ogni numero primo p e per ogni numero naturale n esiste, unico a meno di isomorfismo, il campo di Galois GF(pⁿ): esso può essere definito come il campo di spezzamento del polinomio

su Z_p. Se p e q sono due numeri primi e se m e n sono due numeri naturali, allora GF(q^m) è un’estensione di GF(pⁿ) se e solo se p = q e n è un divisore di m.