campo

campo

campo struttura algebrica costituita da un insieme K* dotato di due operazioni binarie interne + e · : K × K* → K*, dette rispettivamente addizione e moltiplicazione, tali che: K* è un gruppo abeliano (cioè commutativo) rispetto all’addizione e l’insieme K**, ottenuto da K* escludendo l’elemento neutro dell’addizione, è un gruppo abeliano rispetto alla moltiplicazione (esso viene pertanto detto il gruppo moltiplicativo del campo K*); si richiede inoltre che le due operazioni soddisfino le proprietà distributive. Formalmente, un campo è una terna (K, K*+, ·), dove K è un insieme e dove + e · sono due operazioni binarie su K* che soddisfano i seguenti assiomi (detti assiomi di campo), in cui x, y, z indicano arbitrari elementi di K* (qui K** indica K* privato di 0):

a) (x + y) + z = x + (y + z)

(associatività dell’addizione)

b) x + y = y + x

(commutatività dell’addizione)

c) Ǝ0 ∈ K* : ∀x ∈ K, 0 + x = x + 0 = x

(esistenza dell’elemento neutro rispetto all’addizione)

d) ∀x ∈ K*, Ǝi_x ∈ K : x + i_x = i_x + x = 0

(esistenza dell’inverso rispetto all’addizione)

e) (x · y) · z = x · (y · z)

(associatività della moltiplicazione)

f) x · y = y · x

(commutatività della moltiplicazione)

g) Ǝ1 ∈ K* : ∀x ∈ K, 1 · x = x · 1 = x

(esistenza dell’elemento neutro rispetto alla moltiplicazione)

h) ∀x ∈ K**, Ǝj_x ∈ K* : x · j_x = j_x · x = 1

(esistenza dell’inverso rispetto alla moltiplicazione)

i) (x + y) · z = x · z + y · z

(distributività a destra dell’addizione rispetto alla moltiplicazione)

j) x · (y + z) = x · y + x · z

(distributività a sinistra dell’addizione rispetto alla moltiplicazione).

A partire da tali assiomi, si può mostrare che gli elementi neutri dell’addizione e della moltiplicazione (detti rispettivamente zero e uno e indicati con i simboli 0 e 1) sono unici, come anche, per ogni elemento non nullo x di K*, sono unici gli elementi i_x e j_x di cui è richiesta l’esistenza negli assiomi (d) e (h). Essi sono detti rispettivamente inverso additivo e inverso moltiplicativo di x e sono rispettivamente indicati con i simboli −x e x⁻¹. Solitamente, nella scrittura si usa omettere il segno di moltiplicazione: il prodotto di due elementi x e y di K* è semplicemente indicato come xy.

Un campo è dunque un corpo commutativo e, in particolare, è anche un anello. Esempi di tale struttura algebrica sono l’insieme dei numeri razionali Q, l’insieme dei numeri reali R e l’insieme dei numeri complessi C, con le usuali operazioni di addizione e moltiplicazione. Un sottoinsieme K′ di un campo K* che sia chiuso rispetto alle operazioni definite in K* e che continui a soddisfare gli assiomi di campo rispetto alle operazioni ereditate da K* è detto sottocampo. Viceversa K* viene detto una estensione (o un ampliamento) di K′. A ogni campo K* si può associare un numero intero, detto caratteristica del campo K e indicato con il simbolo Char(K), definito come il minimo numero naturale n tale che, per ogni elemento a di K, vale

Se tale numero esiste, allora esso è un numero primo; se non esiste, allora la caratteristica del campo è per definizione 0. L’esempio fondamentale di campo di caratteristica 0 è costituito dal campo dei numeri razionali Q, mentre l’esempio fondamentale di campo che abbia come caratteristica un dato numero primo p è il campo Z_p delle classi resto modulo p con le naturali operazioni di addizione e moltiplicazione ereditate dall’insieme dei numeri interi Z. Se la caratteristica di un campo K* è 0, allora sommando ripetutamente 1 con sé stesso si ottiene un sottocampo isomorfo a Z (insieme dei numeri interi); se invece un campo K* ha per caratteristica un numero primo p, allora esso contiene un sottocampo isomorfo a Z_p. Viceversa un campo ha caratteristica p se e solo se è un’estensione di Z_p. Un campo ha invece caratteristica 0 se e solo se è un’estensione di Q: dunque Q, R e C sono tutti esempi di campi di caratteristica 0. Un campo con un numero finito di elementi è detto campo di Galois, o più semplicemente campo finito (→ Galois, campo di). La caratteristica p di un campo di Galois è necessariamente maggiore di 0; la sua cardinalità coincide con un’opportuna potenza pⁿ della sua caratteristica. Lo studio delle corrispondenze tra i sottocampi di un campo K e i gruppi di automorfismi di K è oggetto della teoria di → Galois, nell’ambito della quale si affronta il problema della risolubilità di un’equazione algebrica a coefficienti in un campo.

Un campo K* si dice ordinato se su di esso è definita una relazione d’ordine totale ≤ compatibile con la struttura di campo, nel senso che sono soddisfatti i due seguenti assiomi, dove x e y indicano arbitrari elementi di K:

• se x ≤ y allora ∀z ∈ K*, x + z ≤ y + z

(compatibilità con l’addizione)

• se 0 ≤ x e 0 ≤ y allora 0 ≤ x · y

(compatibilità con la moltiplicazione)

Per esempio, i campi Q e R, con l’ordinaria relazione d’ordine, sono campi ordinati. Il campo C dei numeri complessi invece non è ordinato, nel senso che non esiste alcuna relazione d’ordine totale su C che sia compatibile con la sua struttura di campo. Un campo ordinato si dice archimedeo se vale l’assioma di → Archimede, vale a dire se, dati comunque due elementi x e y di K* tali che 0 < x ≤ y, allora esiste un multiplo intero di x maggiore di y (cioè: Ǝn ∈ N tale che y ≤ nx). I campi ordinati Q e R sono archimedei. Esempi di campi ordinati non archimedei sono forniti dall’analisi non standard. Il campo ha una particolare rilevanza in algebra perché è l’ambiente naturale cui appartengono i coefficienti di una equazione polinomiale; inoltre, è su un campo che si definisce uno spazio vettoriale.

☐ Nelle applicazioni della matematica alla fisica, il termine campo è utilizzato per indicare una regione di spazio in ogni punto della quale è definita una grandezza fisica, esprimibile matematicamente, di natura scalare (campo scalare), vettoriale (campo vettoriale, per esempio il campo di una forza) o tensoriale (campo tensoriale, per esempio il campo delle deformazioni di un solido). In un campo vettoriale è definito un vettore applicato v, funzione delle coordinate spaziali. In tale modo ogni punto dello spazio risulta descritto da tre quantità scalari, cioè dalle tre componenti del vettore lungo gli assi coordinati. È possibile rappresentare un campo vettoriale mediante linee di campo definite come linee che hanno in ogni loro punto P tangente orientata come il vettore v in P. Campi vettoriali sono, per esempio, i campi di velocità, di accelerazione e di forza.