caos e complessita

caos e complessita

càos e complessità. – Nel linguaggio della fisica e della matematica moderna, la condizione di incertezza sulla previsione di un sistema dinamico governato da leggi deterministiche. Sebbene l’evoluzione dinamica sembri assumere un aspetto casuale, essendo questi sistemi basati su leggi non lineari, sono proprio tali leggi a consentirne lo studio e la classificazione tramite l’apparato matematico. L’accuratezza finita della conoscenza dello stato iniziale del sistema determina l’impredicibilità, ossia l’impossibilita di determinare, dopo un tempo finito, lo stato futuro di esso. Il caos si presenta essenzialmente sotto due forme. Nei sistemi conservativi – di cui quelli hamiltoniani sono un importante sottoinsieme, il volume nello spazio delle fasi si conserva nel corso dell’evoluzione temporale del sistema. Nei sistemi dissipativi, il volume decresce a causa di processi irreversibili, come per es. la viscosità o la conduzione termica. Per ambedue le classi di sistemi il caos è il risultato di successivi allungamenti e piegamenti degli elementi di volume dello spazio delle fasi. Il Sistema solare ha un comportamento caotico ed è un esempio di caos conservativo, più precisamente hamiltoniano; la turbolenza di un fluido viscoso come l’atmosfera, anche se infinitesima, costituisce un esempio di caos dissipativo. L’insieme delle traiettorie di un sistema dinamico caotico si evolve verso una struttura frattale chiamata attrattore. Lo studio dell’attrattore consente una quantificazione dell’orizzonte di predicibilità del sistema, ossia del limite spazio-temporale di predicibilità del sistema. L’orbita di un sistema caotico dissipativo converge a un sottoinsieme dello spazio delle fasi di volume nullo. A causa dei successivi piegamenti e allungamenti gli attrattori di un sistema caotico dissipativo hanno una struttura infinito-foliata che è all’origine della denominazione di attrattore strano data a questi oggetti. Nel caso hamiltoniano l’azione del caos risulta in una decomposizione dell’intero spazio delle fasi in una struttura simile all’insieme di Cantor, con zone di regolarità e stocasticità dei moti. Un'applicazione del caos hamiltoniano è legata al problema della formazione e della configurazione orbitale dei sistemi solari. La scoperta di sistemi planetari extrasolari, in cui le distanze, in unità astronomiche, di pianeti fluidi giganti rispetto alla stella risultano minori rispetto a quelle del nostro sistema, dove Giove e Saturno sono posizionati nella parte periferica in relazione ai pianeti terrestri (Mercurio, Venere, Terra e Marte), ha consentito la realizzazione di simulazioni matematiche nelle quali la caoticità gioca un ruolo importante nei meccanismi di migrazione planetaria e di eccentricità delle orbite. Il concetto di caos trova vaste applicazioni soprattutto nello studio dei sistemi complessi. Ciò che accomuna un sistema complesso a un sistema caotico è la non linearità. In questa visione di complessità i sistemi caotici sono considerati un sottoinsieme dei sistemi complessi: la complessità si manifesta infatti sulla soglia della caoticità.

Teoria dei sistemi caotici nei settori applicativi. Lo sviluppo dell’analisi multifrattale, esito degli studi sui sistemi dissipativi iperbolici che danno luogo al caos dissipativo, ha aperto la strada alla cosiddetta termodinamica dei sistemi caotici. Uno dei risultati in questo campo è la possibilità di definire regioni di alta o bassa predicibilità sull’attrattore. Con l’espressione edge of chaos («soglia di caoticità»), coniata da C.G. Langton, si indica l’insieme dei processi che accadono nell’attimo in cui la natura del sistema subisce la transizione ordine-disordine come risposta alla variazione di un parametro di controllo, generalmente associabile a un elemento forzante esterno al sistema. In questa transizione il sistema si autoorganizza tramite un’interazione globale e a tutte le scale dei suoi componenti. In sistemi di questo tipo la dinamica è spesso generata da semplici leggi matematiche come le mappe iterative. In relazione a tutto ciò, il fisico e premio Nobel M. Gell-Mann ha coniato il neologismo plectics (dal greco plektós, «intrecciato»), illustrando per mezzo di un solo termine il binomio semplicità-complessità. Uno dei campi di applicazione più interessanti di questa moderna scienza è la biologia, in cui la complessità si riscontra, per es., nella capacità di adattamento di un organismo rispetto al cambiamento di un parametro ambientale esterno. Nel campo sperimentale, l’affermarsi della teoria del caos ha dato impulso allo studio di tecniche di analisi di segnali irregolari osservati in natura o rilevati da esperimenti in laboratorio. Tramite l’apparato teorico dei sistemi dinamici, la cosiddetta analisi non lineare di serie temporali affianca alla classica analisi di Fourier algoritmi numerici per l’identificazione e la quantificazione dei segnali caotici, insieme a tecniche di ricostruzione dell’attrattore del sistema. In questo campo un contributo è senza dubbio quello dello sviluppo di strumenti non lineari come le reti neurali e gli algoritmi genetici. Immaginando di descrivere una traiettoria tramite una stringa di numeri binari, una definizione di essa, detta di Kolmogorov-Chaitin, corrisponde alla lunghezza del minimo programma binario necessario a riprodurla. Dinamiche regolari, legate a sistemi integrabili hanno complessità algoritmica minima, a differenza dei sistemi stocastici con complessità proporzionale alla lunghezza della stringa. Si potrebbe quindi pensare che un calcolo della complessità algoritmica di serie temporali caotiche possa portare alla scrittura di un algoritmo universale di previsione delle stesse. G. Chaitin ha dimostrato l’impossibilità di tale costruzione in base al teorema di incompletezza di Godel, aprendo nuovi orizzonti al dibattito epistemologico sulla intelligibilità dell’Universo. Molti fenomeni naturali sono descritti da modelli matematici in cui coesiste un soggetto forzante esterno e una dissipazione interna. Da questo punto di vista, risvolti ingegneristici dei sistemi caotici dissipativi trovano utilizzo in vari settori applicativi. Un esempio per tutti è la tecnica di previsioni meteorologiche (v.) denominata Ensemble prediction system (EPS). La moderna visione dei sistemi dinamici caotici, nata nel campo della meccanica classica, ha avuto interessanti estensioni nei campi della fisica moderna, come le teorie di campo e la meccanica quantistica. Nel campo della relatività generale, interessanti studi sulle condizioni iniziali e asintotiche nel tempo di modelli cosmologici come gli universi di Bianchi, sono stati condotti al fine di ricercare soluzioni caotiche per le equazioni classiche del campo gravitazionale di Einstein, e di cosmologie precedenti al Big Bang associate alla moderna teoria delle stringhe. Nel campo della teoria quantistica, la struttura profondamente diversa dalla meccanica classica rende particolarmente complesso il concetto di comportamento caotico. Il principio di indeterminazione di Heisenberg preclude la conoscenza puntuale dello spazio delle fasi di un sistema e quindi delle condizioni iniziali di esso.