categoricita

categoricita

categoricità proprietà di un insieme di assiomi che vale se due qualsiasi modelli della teoria da essi formalizzata sono isomorfi tra loro, hanno cioè la stessa struttura. In generale, una teoria assiomatica si basa su un insieme di proposizioni (assiomi) che definiscono gli oggetti di base della teoria stabilendone le proprietà e le relazioni fondamentali. Un modello per una teoria è un insieme di oggetti che soddisfano tali assiomi. Per esempio, gli assiomi della geometria euclidea definiscono degli enti geometrici astratti, denominati punti e rette, e le relazioni che intercorrono fra di essi. L’insieme dei punti del piano euclideo è quindi un modello della geometria euclidea; tuttavia non ne è l’unico modello. Se si interpretano, infatti, come punti le coppie di numeri reali e come rette gli insiemi di soluzioni delle equazioni lineari del tipo ax + by + c = 0, si ottiene un altro modello per la geometria euclidea, il cosiddetto modello cartesiano, che è alla base della geometria analitica. Dato che la geometria euclidea, formalizzata secondo gli assiomi di Hilbert, è una teoria categorica, i due modelli sono fra loro isomorfi, cioè è possibile stabilire tra essi una corrispondenza biunivoca che conserva la loro struttura. Un altro esempio di teoria categorica è l’aritmetica formalizzata tramite gli assiomi di Peano: ogni modello di interpretazione di questa teoria è isomorfo al modello standard. Non è categorica invece la teoria dei gruppi, dato che è possibile considerare due modelli di questa teoria, ovvero due gruppi, che non sono fra loro isomorfi: a) l’insieme dei numeri interi dotato dell’operazione di addizione e dello zero come elemento neutro (Z, +, 0); b) l’insieme costituito unicamente dal numero 1, dotato dell’operazione di prodotto ({1}, ·, 1). I due gruppi non sono isomorfi perché non hanno la stessa cardinalità: il primo è costituito da infiniti elementi, mentre il secondo ha solo un elemento.