Baire, classi di
Baire, classi di
Baire, classi di classificazione delle funzioni reali di variabile reale operata sulla base delle loro proprietà di continuità. Le classi, in un intervallo [a, b], sono definite per ricorrenza (transfinita), chiamando:
• funzioni di classe 0 tutte le funzioni continue;
• funzioni di classe 1 tutte le funzioni non continue, ma limite di una successione di funzioni continue, e in generale funzioni di classe k + 1 le funzioni che non sono di nessuna classe minore o uguale a k, ma sono limite di successioni di funzioni di classe k.
Un esempio di funzione di Baire di classe 2 è la funzione di → Dirichlet. Definite così tutte le classi Hk corrispondenti a indici k finiti, si definisce la classe Hω come la classe delle funzioni che non sono di classe finita, ma sono limite di una successione di funzioni tutte di classe finita; la classe Hω+1 è poi formata dalle funzioni limite di una successione di funzioni di classe Hω, e così via. Tutte queste classi sono non vuote per ogni numero ordinale transfinito α della seconda classe. Fissato α, esiste una funzione di Baire di due variabili, Fα(x, t), detta funzione universale, tale che ogni funzione ƒ(x) di classe minore di α si ricava come traccia Fα(x, t0) per un opportuno valore t0. Le funzioni di Baire sono funzioni misurabili secondo Lebesgue (→ Lebesgue, misura di), ma poiché queste ultime hanno la potenza del continuo (→ cardinalità), esistono funzioni misurabili secondo Lebesgue che non sono funzioni di Baire.