Klein, classificazione delle geometrie di

Klein, classificazione delle geometrie di

Klein, classificazione delle geometrie di riorganizzazione della geometria proposta da F. Klein nel cosiddetto programma di → Erlangen (1872). In tale impostazione l’attenzione si sposta dallo studio delle proprietà delle singole figure allo studio delle proprietà che non cambiano rispetto ad alcune trasformazioni. La classificazione delle geometrie avviene dunque sulla base dei gruppi di trasformazioni adottate. Secondo Klein, dato un insieme non vuoto S, chiamato spazio, e un gruppo G di trasformazioni su S, la G-geometria su S è lo studio di tutte le proprietà delle figure di S (sottoinsiemi di S) che risultano invarianti in una qualsiasi trasformazione g appartenente a G. Il gruppo G è detto gruppo fondamentale della geometria. Fissato il gruppo G, resta determinata nell’insieme delle figure di S una relazione di equivalenza ∼ così definita: F ∼ F′ se e solo se esiste una trasformazione g appartenente a G tale che g(F) = F′, essendo F e F′ due figure di S. In teoria si possono introdurre in S tante geometrie, una per ogni diverso gruppo di trasformazioni su S. In pratica ha interesse considerare solo alcuni gruppi fondamentali: il gruppo delle → isometrie, il gruppo delle → similitudini, il gruppo delle → affinità, il gruppo delle → proiettività, il gruppo degli → omeomorfismi. Si ha così la seguente classificazione:

• geometria euclidea metrica: studia le proprietà invarianti rispetto al gruppo delle isometrie, quali per esempio le lunghezze dei segmenti;

• geometria delle similitudini: studia le proprietà invarianti rispetto al gruppo delle similitudini, quali per esempio le ampiezze degli angoli;

• geometria affine: studia le proprietà invarianti rispetto al gruppo delle affinità, quale per esempio il parallelismo;

• geometria proiettiva: studia le proprietà invarianti rispetto al gruppo delle proiettività, quale per esempio il birapporto di quattro punti allineati;

• topologia: studia le proprietà invarianti rispetto al gruppo degli omeomorfismi, cioè le proprietà invarianti per deformazioni continue, quali per esempio la connessione di una figura.

Ciascuno di questi gruppi fondamentali ha, a sua volta, dei sottogruppi che rappresentano trasformazioni con particolari proprietà. Fra questi sottogruppi notevoli si possono ricordare, per esempio, il gruppo delle affinità equivalenti, il gruppo delle → omotetie con lo stesso centro, il gruppo delle → rotazioni con lo stesso centro. La geometria, definita sulle trasformazioni e sui loro invarianti, assume un carattere formale e astratto che rende sempre più remoto il suo originario legame con lo spazio fisico dell’esperienza quotidiana. Questa impostazione ha però il vantaggio di consentire una visione unitaria delle diverse geometrie, gerarchicamente organizzate secondo uno schema corrispondente alle relazioni di inclusione dei relativi gruppi fondamentali.