coefficiente binomiale

coefficiente binomiale

coefficiente binomiale dati due numeri naturali k, n, con k ≤ n e n ≠ 0, il coefficiente binomiale, indicato con il simbolo

che si legge «n sopra k», è il numero naturale così definito:

dove il punto esclamativo indica il fattoriale del numero; tenuto conto che 0! = 1 per k = 0 si ha

Il nome dipende dal fatto che i suoi valori, per k variabile da 0 a n, sono i coefficienti numerici dello sviluppo della potenza ennesima del binomio (a + b)ⁿ. Infatti:

Per esempio:

Valgono le seguenti proprietà:

Da questa seconda proprietà si desume che tutti i suoi valori possono essere ricavati iterativamente a partire da

secondo uno schema chiamato triangolo di → Tartaglia. Il coefficiente binomiale fornisce il numero dei sottoinsiemi con k elementi di un insieme finito costituito da n elementi, numero che d’altra parte coincide con il numero di → combinazioni semplici di classe k di un insieme di n elementi.