comonotonia

comonotonia

Proprietà di coppie o, più in generale, ennuple (n-ple) di variabili aleatorie. Una coppia di variabili aleatorie (X, Y) si dice comonotona se esse dipendono in senso funzionale da una terza variabile aleatoria Z e la dipendenza è per ambedue monotona crescente (o decrescente). In altri termini, se esistono due funzioni reali f e g strettamente crescenti (oppure strettamente decrescenti), tali che X=f(Z), Y=g(Z). Un vettore aleatorio X=(X₁, X₂,…, X_n) si dice comonotono se tutte le variabili aleatorie del vettore sono funzioni simultaneamente crescenti (o simultaneamente decrescenti) di una stessa variabile aleatoria Z, ovvero se esistono n funzioni f₁, f₂,…, f_n monotone crescenti (o monotone decrescenti), tali che X_h=f_h(Z) per ogni h=1,…, n. La c. implica una relazione di dipendenza funzionale fra X e Y. Infatti, la monotonia di f ne implica l’invertibilità, dunque la possibilità di esprimere, per es., Z in funzione di X secondo la Z=f⁻¹(X); ne consegue Y=g(f⁻¹(X)), quindi Y è funzione di X. Questa dipendenza funzionale, che deve mantenere anche la coerenza con la distribuzione di probabilità della Z, può essere considerata la forma di dipendenza probabilistica più stretta possibile fra due variabili aleatorie, pur senza porre alcun vincolo, monotonia a parte, alla relazione fra X e Y. La possibilità di modellare in modo estremamente flessibile, pur nell’ambito di una precisa relazione funzionale, il comportamento di coppie (n-ple) di variabili aleatorie fa della proprietà di monotonia uno dei cardini delle teorie più moderne di analisi e controllo del rischio. Tale proprietà è utilizzata in particolare nell’ambito delle scienze attuariali ogniqualvolta un’unica fonte di rischio (per es. un terremoto) può determinare perdite, crescenti con l’intensità della fonte di rischio, ma differenti nell’ammontare, su una molteplicità di cespiti. Una definizione alternativa di c. dice che la coppia di variabili aleatorie X, Y è comonotona se, e solo se, ha la stessa distribuzione congiunta della coppia di variabili aleatorie F_x⁻¹(U), F_y⁻¹(U), dove U indica una variabile aleatoria con distribuzione uniforme in 0,1 ed F_x⁻¹, F_y⁻¹, le inverse delle funzioni di ripartizione delle distribuzioni (marginali) della X e, rispettivamente, della Y. In altre parole se preso un qualunque p interno all’intervallo 0, 1 e date le distribuzioni marginali Fx(x)=Prob(X≤x) della X, e Fy(y)=Prob(Y≤y) della Y e le rispettive inverse x=F_x⁻¹(p), y=F_y⁻¹(p), risulta Prob(X≤F_x⁻¹(p)ΛY≤F_y⁻¹(p))=p.