completezza
completezza
completezza termine utilizzato in matematica con diversi significati.
Completezza di un insieme totalmente ordinato (o completezza algebrica)
Un insieme X dotato di un ordinamento totale denso ≤ si dice completo se ≤ è un ordinamento continuo, cioè se è soddisfatto l’assioma di Dedekind. La nozione di completezza di un insieme totalmente ordinato equivale quindi a quella della sua continuità: un insieme ordinato si dice completo se ogni suo sottoinsieme limitato superiormente (rispettivamente: inferiormente) non ha estremo superiore (rispettivamente: inferiore) e il complementare di tale sottoinsieme ha l’estremo inferiore (rispettivamente: superiore). Rispetto ai loro ordinamenti canonici, è completo l’insieme dei numeri reali R, mentre non lo è l’insieme dei numeri razionali Q.
Completezza di uno spazio metrico (o completezza topologica)
Uno spazio metrico X con distanza d si dice completo se ogni successione di Cauchy definita in X converge a un elemento appartenente a X. La completezza è una proprietà metrica; in altre parole essa è conservata per isometrie e più in generale nel passaggio a una metrica equivalente. Se X è compatto (→ compattezza) allora è anche completo, se X è completo e totalmente limitato (→ limitatezza) allora è compatto. In uno spazio metrico completo, una successione è convergente se e solo se è di Cauchy. Un sottoinsieme chiuso di uno spazio metrico completo X è a sua volta completo, relativamente alla distanza ottenuta restringendo a esso quella definita su tutto X (metrica indotta). Ogni spazio metrico X è contenuto in uno spazio metrico completo Y in modo che la distanza di X coincide con la restrizione a esso della distanza definita in Y. Il più piccolo spazio metrico Y che gode di questa proprietà viene detto il completamento (metrico) di X ed è univocamente determinato da esso. Esempi di spazi metrici completi sono l’insieme R dei numeri reali e quello C dei numeri complessi, mentre un esempio di spazio metrico non completo è l’insieme Q dei numeri razionali: un esempio di successione di Cauchy non convergente in Q è dato dalla successione (1 + 1/n)n che converge al numero di Nepero e, che è irrazionale e pertanto non appartiene a Q.