contorno, condizioni al
contorno, condizioni al
Uno o più vincoli imposti alla soluzione generale di un’equazione differenziale, ovvero all’insieme delle funzioni che la soddisfano; tali condizioni si traducono nella scelta di uno o più valori che la funzione rappresentante una soluzione particolare (e le sue derivate) deve assumere a uno o più degli estremi (al contorno) dell’insieme dove è definita.
Nella versione più semplice, le condizioni al c. sono utilizzate per individuare una soluzione particolare fra quelle generali di una equazione differenziale. Per es., al variare di t nell’intervallo chiuso (0,T), l’equazione differenziale ordinaria del primo ordine dM=Mr(t)dt, la cui soluzione generale (detta anche integrale generale) è M(t)=exp(ʃ0tr(t)dt+c)=exp(c)·exp(ʃ0tr(t)dt) con c costante arbitraria. Fissato c, si ottiene una soluzione particolare (integrale particolare). Appare naturale scegliere il valore di c sfruttando la condizione iniziale (sul valore assunto a uno degli estremi, per es. quello sinistro, dell’intervallo dalla soluzione) exp(c)=M(0); ne consegue la M(t)=M(0)·exp(ʃ0t r(t) dt). Per una equazione differenziale ordinaria del secondo ordine, x″(t)=f(t,x(t)), che coinvolge (anche) la derivata seconda della funzione incognita x(t), si ha la soluzione generale x(t)=ʃ0t(ʃ0txθ)dθ) dt+c1t+c2, la cui soluzione particolare richiede la scelta di due costanti arbitrarie, prese ordinariamente in modo da verificare due condizioni iniziali riferite al valore assunto in t0 dalla x(t) e dalla sua derivata prima x′(t). Nel caso di una equazione differenziale ordinaria di ordine n (la quale coinvolge derivate della funzione incognita x(t), fino alla n-esima), si può dimostrare che nell’integrale generale compaiono n costanti arbitrarie. Assegnati particolari valori al vettore che le raccoglie, si ha una soluzione particolare; essa è scelta in modo che siano verificate le condizioni iniziali, riferite di solito agli specifici valori assunti nell’istante iniziale t0 dalla funzione e dalle sue prime n−1 derivate.
In un approccio più sofisticato le condizioni al c. compaiono in problemi di ottimizzazione dinamica (➔ ottimizzazione), in cui si sceglie in una certa classe di funzioni x=x(t), dotate di opportune proprietà di regolarità (per es., almeno due volte derivabili), quella che ottimizza (massimizza o minimizza) un funzionale F(x)=ʃ0t1(G(x,x1(t),t)dt), dove G è una funzione data, t1 è una assegnata costante e x(t) una funzione reale incognita definita e derivabile almeno due volte nell’intervallo chiuso (0,t1). Il rispetto delle condizioni al c. richiede che la soluzione soddisfi i vincoli imposti ai valori iniziale e finale (agli estremi 0 e t1) x(0)=x0 e x(t1)=x1.