congruenza

congruenza

Relazione tra due elementi dell’insieme ℤ dei numeri interi relativi (cioè positivi, negativi o nulli) a e b della forma a=b+mk, con m,k∈ℤ rispettivamente fissato e arbitrario. In altri termini, la differenza a−b deve essere divisibile per un intero positivo m, chiamato modulo della congruenza, ovvero a e b hanno resti identici quando divisi per m; a è detto allora un resto di b modulo m. Tale relazione è indicata con la scrittura a≡b (mod m). La congruenza modulo un intero m fissato stabilisce una relazione di equivalenza nell’insieme ℤ: è riflessiva, poiché a≡a (mod m); simmetrica, poiché da a≡b (mod m) segue b≡a (mod m); transitiva, poiché da a≡b (mod m) e b≡c (mod m) segue a≡c (mod m). Segue che la relazione ≡ (mod m) divide l’insieme ℤ in classi di equivalenza X₁,X₂,… mutualmente disgiunte, dette classi di residui. Naturalmente, due interi appartengono alla stessa classe di equivalenza se e solo se sono congruenti modulo m. Ogni intero è dunque congruente con uno e uno solo dei numeri 0,…,m−1, ciascuno dei quali appartiene a una classe distinta. Le distinte classi di residui così determinate sono quindi esattamente m. Le congruenze rispetto a un modulo fissato possono essere sommate, sottratte e moltiplicate e questo induce le corrispondenti operazioni sulle classi di residui, che formano quindi un anello. Sia ora F(x₁,…,x_ν) un polinomio a coefficienti interi nelle n variabili x₁,…,x_ν. Un’equazione della forma F(x₁,…, x_ν)≡0 (mod m) è detta equazione alle congruenze. Se un qualunque insieme di interi a₁,…,a_ν è soluzione dell’equazione e gli interi a_ι, 1≤i≤n, appartengono rispettivamente alle classi di residui X_ι, 1≤i≤n, allora ogni altro insieme a′_ι∈X_ι, 1≤i≤n, è a sua volta soluzione. Per es., le soluzioni di una congruenza di primo grado ax≡b (mod m) con a e m primi tra loro (il loro più grande divisore comune è 1) appartengono tutte a un’unica classe. Un celebre risultato concernente le equazioni alle congruenze è il piccolo teorema di Fermat: se p è un numero primo e a non è divisibile per p, allora a^π−1≡1 (mod p).

→ Numeri, teoria dei