CONTATTO

CONTATTO (dal lat. contactus)

matematica. - Se due curve, p. es. due circonferenze, passano entrambe per un medesimo punto P, accade in generale che esse in codesto punto si attraversino; ma può anche darsi che (almeno per tutto un tratto prossimo a P) restino ciascuna da una medesima parte rispetto all'altra, e questa seconda circostanza si presenta, quando si può immaginare che in P, per continuità, siano venuti a sovrapporsi due diversi punti di mutua intersezione delle due curve (fig. 1). Si dice allora che le due curve in P "si toccano" o hanno "un contatto". Esse hanno ivi la medesima tangente. Generalizzando, si dice che due curve C, C′, quali si vogliono (piane o anche sghembe) hanno in un loro punto comune P (che non sia singolare né per l'una né per l'altra) un contatto, se in P hanno la stessa tangente.

Un'analisi approfondita del mutuo comportamento di due curve piane C, C′, in un loro punto di contatto - nel senso or ora chiarito - ha portato a riconoscere la possibilità che esse, pur toccandosi in un punto P, vi si attraversino. P. es., il circolo osculatore a una curva in un generico suo punto (v. curve) la attraversa. Per distinguere i contatti con reciproco attraversamento da quelli senza e, al tempo stesso, per valutare in quale grado due curve piane C, C′, nella prossimità di un loro contatto P, si approssimino l'una all'altra, si immagini condotta alla tangente comune, da un punto Q prossimo a P, la perpendicolare, la quale seghi le due curve in M, M′ rispettivamente (fig. 2). Quando Q tende a P, la distanza MM′ tende a zero o, come si suol dire (v. differenziale, calcolo), è infinitesima insieme con PQ; e si dimostra che in ogni caso (nell'ipotesi dianzi ammessa che P non sia singolare né per C, né per C′) l'infinitesimo MM′ è di un ben determinato ordine intero rispetto a PQ. Se n + 1 è quest'ordine, il contatto fra le due curve si dice di ordine n o anche (n +1)- punto, perché si può immaginare ottenuto facendo coincidere in P, per continuità, n + 1 intersezioni fra le due curve. Se y = f(x), y = g(x) sono le equazioni di queste, nell'intorno di P, e x₀ è l'ascissa di questo punto, le condizioni perché il contatto sia di ordine n sono date da:

dove le f′, f″, ..., g′, g″, ... denotano le successive derivate di f e g.

In un punto di contatto due curve piane si attraversano o no, secondo che l'ordine di esso è pari o dispari. Il cerchio osculatore a una curva in un suo punto P, che non sia un flesso, si può caratterizzare come il cerchio per P, che ha con la curva un contatto del secondo ordine o tripunto. In un flesso una curva ha un contatto del secondo ordine (almeno) con la sua tangente.

Il concetto di contatto si estende in modo ovvio al caso di due superficie o di una curva e di una superficie; e si estende altresì il concetto di ordine del contatto. Sui criterî per riconoscere siffatto ordine (meno semplici di quelli dianzi indicati per le curve piane) si vedano i trattati di analisi infinitesimale, p. es. E. Picard, Traité d'analyse, I, 2ª ediz., Parigi 1922, pp. 318-348. Sulla valutazione degli ordini dei contatti fra curve algebriche in punti singolari (essenziale nello studio delle singolarità) si veda, ad es., F. Enriques-O. Chisini, Lezioni sulla teona geometrica delle eqttazioni, ecc., II, Bologna 1918; III, 11, n. 12; IV, 1.

Per le "trasformazioni di contatto", v. trasformazione.