continuita

continuita

continuità proprietà che, in diversi contesti matematici, precisa l’idea intuitiva di mancanza di interruzione. Il passaggio dall’idea intuitiva alla precisazione matematica del concetto non è stato semplice e si è dovuta superare l’ingenua idea che la continuità dell’ordinamento degli elementi di un insieme consista nella loro consecutività o nella infinita suddivisibilità di un intervallo. La difficoltà di precisare il concetto di continuità si intreccia con la difficoltà di precisare i concetti di infinito e infinitesimo; la più famosa testimonianza di ciò è costituita dai paradossi di → Zenone, che derivano dalla errata convinzione, ereditata dalla concezione aritmo-geometrica pitagorica per la quale un segmento è costituito da una successione di punti, che la somma di infiniti termini non possa essere una quantità finita. In termini matematici il concetto di continuità è diversamente precisato a seconda dell’oggetto cui si applica.

Continuità di un’applicazione

Se riferita a un’applicazione di uno spazio topologico E in uno spazio topologico F, la continuità consiste nella circostanza che punti “vicini” in E vengono trasformati in punti “vicini” in F. Formalmente, un’applicazione ƒ si dice continua nel punto a di E se per ogni intorno V di ƒ(a) in F esiste un intorno U di a in E tale che ƒ(U) sia contenuto in V. L’applicazione si dice continua su E se è continua in ogni punto di E.

Continuità e uniforme continuità di una funzione reale

Se in particolare l’applicazione ƒ è una funzione reale di variabile reale, y = ƒ(x), la sua continuità in un punto x₀ ∈ Dom(ƒ) si traduce nel fatto che ∀ε > 0 ∃δ > 0 (che dipende in generale dal punto x₀ e da ε) tale che ∀x ∈ Dom(ƒ)

proprietà che si esprime anche scrivendo in modo compatto:

La quantità δ = δ(ε, x₀) si dice modulo di continuità di ƒ in x₀. Una funzione si dice continua in un insieme E se è continua in ogni punto di E. Se in tale insieme, il modulo di continuità δ dipende soltanto da ε e non dal punto x₀, la funzione si dice allora uniformemente continua in tale intervallo. Se E è compatto, vale il teorema di → Heine-Cantor che stabilisce che in un compatto ogni funzione continua è uniformemente continua. Ogni funzione uniformemente continua è anche continua, ma non vale il viceversa; per esempio, la funzione quadratica y = x ² è continua ma non uniformemente continua nel suo insieme di definizione.

Una funzione continua trasforma un sottoinsieme compatto di E in un sottoinsieme compatto di F e un sottoinsieme connesso di E in un sottoinsieme connesso di F. Inoltre, essa è dotata in un compatto C di minimo e di massimo (teorema di → Weierstrass per una funzione continua) e se, inoltre, C è un intervallo di numeri reali, ƒ assume tutti i valori compresi tra due suoi valori qualsiasi (teorema di → Darboux).

Sono continue nell’insieme in cui risultano definite le funzioni ottenute componendo funzioni continue e inoltre, nel caso di funzioni a valori reali o complessi, tutte le funzioni elementari, i prodotti, le somme, i rapporti di funzioni continue. Una funzione reale definita su un intervallo è detta funzione continua a tratti sull’intervallo se essa è continua a eccezione al più di un numero finito di punti in cui ha discontinuità di prima specie.

La definizione di continuità di una funzione di n variabili è del tutto analoga a quella di una funzione di una variabile: indicato con P un punto dello spazio n-dimensionale, ƒ(P) è continua in P₀ se esiste il suo limite per P → P₀ ed è uguale a ƒ(P₀). Nell’estensione del concetto di limite a funzioni a n-dimensioni occorre tuttavia usare cautela perché il limite di una funzione di più variabili ha alcune caratteristiche che lo differenziano da quello di una funzione di una variabile (→ funzione di n variabili).

La nozione di continuità si estende senza variazioni a funzioni definite in spazi metrici. Le funzioni continue in uno stesso insieme E costituiscono uno spazio vettoriale, designato con C⁰(E), che è un’algebra e un reticolo. Se E è compatto, oltre al teorema di Weierstrass vale il teorema di Heine-Cantor che stabilisce che ogni funzione continua è uniformemente continua e C⁰(E) è uno spazio di Banach.

Continuità e continuità assoluta di una funzione reale

Una funzione ƒ reale di variabile reale, continua in un intervallo [a, b] si dice assolutamente continua in tale intervallo se per ogni numero positivo ε esiste un δ > 0 tale che risulti Σ|ƒ(b_i) − ƒ(a_i)| < ε per ogni scelta degli intervalli [a_i, b_i], in numero finito, contenuti in [a, b] e a due a due privi di punti interni comuni, per cui Σ(b_i – a_i) < δ. Ogni funzione assolutamente continua in [a, b] è a variazione limitata in tale intervallo ed è uniformemente continua.

Continuità e derivabilità di una funzione reale

Una funzione reale di variabile reale derivabile, in un punto o in un intervallo (a, b), è anche continua in tale punto o intervallo. Non è però vero il viceversa, nel senso che una funzione può essere continua in un punto ma non essere ivi derivabile; un esempio in tal senso è dato dalla funzione y = |x|, che in x = 0 è continua ma non ammette derivata.

Continuità di un ordinamento

Proprietà di un ordinamento totale e denso ≤ su un insieme X per cui valga l’assioma di → Dedekind, che è appunto anche detto assioma di continuità. In modo equivalente, si dice che X è completo rispetto all’ordinamento totale ≤. L’assioma di Dedekind è per esempio soddisfatto da una retta, dotata di uno dei suoi due ordinamenti naturali (→ ordinamento della retta, assioma di), dall’insieme R dei numeri reali con il suo ordinamento naturale, ma non da Q, insieme dei numeri razionali.

Continuità della retta

Proprietà di ognuno dei due ordinamenti naturali della retta; tale proprietà è posta assiomaticamente con l’assioma di Dedekind. Si può così stabilire una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei numeri reali e l’insieme dei punti di una retta, che quindi costituisce una rappresentazione geometrica dei numeri reali.

Continuità di un insieme

Relativamente a un insieme (non necessariamente ordinato, ma comunque con infiniti elementi) il concetto di continuità si riferisce alla sua cardinalità (→ continuo, cardinalità del).