controllo ottimale
controllo ottimale
Teoria matematica, sviluppata negli anni 1960 contemporaneamente da L. Pontryagin (➔ Pontryagin, principio di) in Unione Sovietica e da R. Bellman (➔ Bellman, equazione di) negli Stati Uniti, che applica metodi di ottimizzazione derivati dal calcolo delle variazioni per determinare le politiche ottimali di controllo di sistemi dinamici, per raggiungere finalità assegnate. Per sistema dinamico si intende un insieme di grandezze variabili nel tempo in modo interdipendente. La tecnica del c. o. è usata principalmente in sistemi fisici, per es. meccanici, elettrici e termodinamici, ma ha trovato utilizzazione, oltre che nei modelli economici e finanziari, anche nello studio di sistemi di natura biologica, ecologica e ambientale.
Origini e applicazioni del modello
Il c. o. è uno strumento fondamentale nella teoria economica contemporanea, la quale studia sistemi dinamici, deterministici o spesso stocastici, cioè in presenza di un certo grado di incertezza, in cui uno o più agenti prendono decisioni sofisticate sulla base delle informazioni in loro possesso. In tal caso, il sistema è visto come un modello matematico, più o meno complesso, che si evolve nel tempo. Il percorso da esso descritto può essere influenzato dalle scelte di un giocatore che vuole ottimizzare il risultato finale in base a un certo specifico criterio di preferenza. Applicazioni di questo metodo si trovano in numerosissimi campi di ricerca economica: nella teoria dell’investimento, del consumo, del search, della crescita, della finanza pubblica, nei giochi dinamici e così via. L’origine di questo approccio nella teoria economica risale, peraltro, al lavoro di F.P. Ramsey sulle scelte di risparmio di un consumatore (A mathematical theory of saving, «Economic Journal», 1928, 38, 152) e di H. Hotelling su quelle di investimento in un’industria (The economics of exhaustible resources, «Journal of political Economy», 1931, 39, 2).
Il problema di Ramsey
Il cosiddetto problema di Ramsey è perfettamente esemplificativo e ha aperto la strada a un ricco filone di ricerca. In un’economia che produce un unico bene, all’infinito, un singolo agente, detto anche pianificatore, sceglie quanta parte di esso consumare e quanta investire. Il consumo aumenta l’utilità goduta dall’agente, ma l’investimento accresce il capitale e quindi la produzione futura. La scelta ottima è quella che massimizza la somma delle utilità nel corso del tempo. Ramsey fu in grado di risolvere questo problema di ottimizzazione in modo diretto, applicando il calcolo delle variazioni su una funzione di un numero infinito di variabili (i livelli di consumo e capitale). Ma, a ben guardare, l’unica variabile di stato rilevante per la scelta a cambiare nel tempo è il livello del capitale. La tecnica del c. o. utilizza questa, equivalente, prospettiva: studiare la politica ottimale come scelta del livello di investimento corrente in funzione del capitale corrente, ottenendo così un problema su due soli periodi di tempo (l’oggi e il domani).
Applicazioni ulteriori dell’esempio di Ramsey
L’approccio descritto si rivela ricco di possibili implicazioni. Se, per es., si introduce nel problema di Ramsey un elemento stocastico, ossia si ipotizza che la quantità di produzione, pur dipendendo da quella del capitale, possa assumere valori diversi (con una certa probabilità), allora la formulazione del problema del calcolo delle variazioni su tutte le possibili sequenze di produzione diventa molto difficile, mentre nel caso del c. o., che si basa sull’ultimo livello effettivamente realizzato, resta sostanzialmente invariata. L’esempio di Ramsey si può anche estendere a un modello più complesso in cui l’allocazione finale è determinata in equilibrio: è il caso di un pianificatore, o governo, che sceglie il livello delle tasse (su lavoro e capitale) per finanziare la spesa pubblica e vuole massimizzare il benessere dei consumatori. Qui la funzione obiettivo dipende dalle scelte che tutti gli agenti, imprese e famiglie, compiono nel tempo in un equilibrio economico dinamico. Di più, il problema può essere complicato dall’introduzione di un grado di incertezza.
Il controllo ottimale robusto
È evidente quindi come i problemi di c. o. diventino molto complessi, soprattutto se aumenta il grado di eterogeneità tra gli agenti economici (la quale è assente nell’ipotesi forte di un unico pianificatore). Il loro utilizzo ha perciò ricevuto un grande stimolo dallo sviluppo delle tecniche numeriche di programmazione dinamica e della velocità dei calcolatori elettronici. Infine, un ulteriore raffinamento della teoria del c. o. con interessanti applicazioni, in fisica prima e in economia poi, è il cosiddetto c. o. robusto. Esso studia lo stesso problema quando uno o più agenti, compreso il pianificatore, sono incerti sul modello da adottare per prendere le loro decisioni, e possibilmente non sanno neanche assegnare una probabilità alla qualità dei modelli differenti. In questa situazione le scelte migliori possono essere, per es., quelle che minimizzano il danno nel peggiore dei casi possibili (soluzione maximin; ➔ ottimizzazione).