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convergenza

di Alfio Quarteroni - Enciclopedia della Scienza e della Tecnica (2008)
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convergenza

Alfio Quarteroni

Si consideri il problema di trovare u tale che F(u,d)=0, dove d è l’insieme dei dati da cui dipende la soluzione e F esprime la relazione (detta anche legge funzionale) che lega u a d. Supponendo che il modello matematico F(u,d)=0 sia ben posto, ovvero che esista un’unica soluzione u e questa dipenda con continuità dai dati d, risolverlo in maniera approssimata con un metodo numerico significa costruire una successione di problemi approssimati Fν(uν,dν)=0, con n≥1. Il parametro n è un indice del livello di difficoltà del problema approssimato (spesso è legato alla sua dimensione, ovvero al numero di gradi di libertà necessari a determinarne la soluzione). Diremo che il metodo numerico è convergente se

formula

Più precisamente, se per ogni ε>0n esiste n0(ε)∈ℕ ed esiste δ(n0,ε)>0 tale che per ogni n> n0(ε) e per ogni δdn tale che ∣∣δdn∣∣〈δ(n0,ε) allora ∣∣u(d)−un(d+δn)∣∣〈ε, dove d è un dato ammissibile per il problema F(u,d)=0, u(d) è la soluzione a esso corrispondente, un(d+δn) è la soluzione del problema numerico con dato d+δdn. Abbiamo indicato con lo stesso simbolo ∣∣∙∣∣ delle norme opportune (non necessariamente le stesse) per l’insieme dei dati e quello delle soluzioni. A titolo di esempio consideriamo il seguente modello matematico: trovare la funzione y(x) soluzione del problema di Cauchy y′(x)=f(x,y(x)) per x∈(x0,b) con condizione iniziale y(x0)=y0, dove la funzione f e il dato y0 sono assegnati. Un possibile modello numerico per la risoluzione del problema di Cauchy è dato dal metodo di Euler in avanti. Assegnato un parametro h>0 e definiti i nodi xj=x0+j∙h (per j=0,…,n e n=[(b−x0)/h]), il metodo di Euler approssima la soluzione y(x) nei nodi xj secondo la formula vj+1=vj+hf(xj,vj) (per j=0,…,n−1), con v0=y0. Nel caso in esame possiamo identificare la soluzione u del modello matematico con la funzione incognita y=y(x) e la soluzione numerica un con l’insieme dei valori {v0,v1,…,vn}. Verificare che il metodo di Euler è convergente equivale a verificare che

formula

nella norma discreta del massimo, ovvero che

formula

Si osservi che ciò equivale in questo caso a

formula

,

essendo

formula

l’errore ottenuto in corrispondenza del parametro h. Si consideri per es. il problema di Cauchy y′(x)=x−y(x) per x≥−1 con condizione iniziale y(−1)=1, la cui soluzione esatta è y(x)=x−1+3e−(χ+1) e lo si approssimi con il metodo di Euler, per diversi valori del parametro h.

→ Computazionali, metodi

Vedi anche
applicazione Matematica Il concetto di a. è una generalizzazione del concetto classico di funzione (➔ corrispondenza). Si parla di a. di un insieme P in un insieme Q, quando tra i due si stabilisce una corrispondenza del tipo seguente: a ogni elemento di P corrisponde un ben determinato elemento di Q, mentre un elemento ... distribuzione involutiva In matematica una distribuzione p-dimensionale ϑ su una varietà differenziale si dice distribuzione involutiva se, considerati due qualsiasi campi di vettori X, Y appartenenti a ϑ (ossia appartenenti agli spazi che costituiscono ϑ), anche il loro commutatore [X,Y] appartiene alla distribuzione. L’importanza ... approssimazione In matematica, si chiamano metodi, o procedimenti di a. o, semplicemente, a., procedure alle quali si ricorre per rappresentare enti matematici (numeri, misure, funzioni ecc.) in modo non esatto, ma sufficientemente accurato per gli scopi perseguiti, in genere mediante enti più semplici. Così, per es., ... algebra Uno dei rami fondamentali delle scienze matematiche: in senso lato l’a. studia le operazioni, definite in un insieme, che godono di proprietà analoghe a quelle delle ordinarie operazioni dell’aritmetica. Con significato specifico è sinonimo di sistema ipercomplesso. La parola al-giabr è usata per la ...
Categorie
  • ANALISI MATEMATICA in Matematica
Tag
  • PROBLEMA DI CAUCHY
  • ALFIO QUARTERONI
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