coordinata

coordinata

coordinata [Dall'agg. coordinato] [ALG] Ciascuno di un insieme ordinato di numeri (coordinate) atto a individuare un punto su una retta, su un piano, su una superficie, nello spazio ordinario e in spazi qualunque, il dominio d'applicazione essendo indicato da un'opportuna qualificazione: c. rettilinee, c. cartesiane nel piano, c. polari nello spazio, ecc.; c. geografiche, c. astronomiche e, in partic., c. altazimutali, c. equatoriali, ecc.: v. oltre. ◆ [MCC] La nozione ha una notevole estensione dalla geometria alla meccanica analitica: c. ignorabili, c. lagrangiane, ecc.: v. oltre. ◆ [ALG] C. affini: sistema di c. rettilinee di uno spazio affine. ◆ [ASF] C. altazimutali: v. coordinate astronomiche: I 756 e. ◆ [RGR] C. armoniche: v. relatività generale: IV 793 a. ◆ [GFS] C. astrogeodetiche: v. coordinate terrestri: I 762 e. ◆ [ASF] C. astronomiche: coppia di grandezze (precis., coppia di angoli) atta a individuare la posizione di un astro sulla volta celeste: v. coordinate astronomiche. ◆ [ASF] C. astronomiche standard: v. coordinate astronomiche, misurazione delle: I 761 d. ◆ [ASF] C. azimutali: lo stesso che c. altazimutali (v. sopra). ◆ [MCC] C. canoniche: v. moto, costanti del: IV 125 e. ◆ [ALG] C. cartesiane ortogonali e oblique: v. oltre: C. geometriche. ◆ [GFS] C. cartesiane terrestri: v. coordinate terrestri: I 764 c. ◆ [ASF] C. celesti: lo stesso che c. astronomiche (v. sopra). ◆ [ALG] C. cilindriche: v. oltre: C. geometriche. ◆ [MCQ] C. collettive: v. istantone: III 346 d. ◆ [ALG] C. curvilinee: v. oltre: C. generali curvilinee. ◆ [RGR] C. dello spazio-tempo: v. relatività generale: IV 786 b. ◆ [ASF] C. eclitticali, o eclittiche: v. coordinate astronomiche: I 756 f. ◆ [GFS] C. ellissoidiche: v. coordinate terrestri: I 763 a. ◆ [ASF] C. equatoriali: v. coordinate astronomiche: I 756 d. ◆ [ASF] C. galattiche: v. coordinate astronomiche: I 757 a. ◆ [ALG] C. generali, o generalizzate, curvilinee: si considerino nel piano due sistemi di curve, dipendenti ciascuno da un parametro arbitrario (u per il primo e v per il secondo). Supponiamo che, almeno in una certa regione R del piano, per ogni punto P passi una e una sola curva di ciascun sistema, in modo inoltre che ogni curva di un sistema incontri in un sol punto ogni curva dell'altro sistema (in tal caso si parla anche di "sistema doppio di curve"). Allora a ogni punto P della regione R restano associati due valori u, v (quelli relativi alle curve passanti per esso), che si dicono c. curvilinee generali del punto P, naturalmente rispetto ai due fissati sistemi di curve; le curve stesse prendono il nome di curve o linee coordinate, e stabiliscono appunto nella regione R un sistema di c. curvilinee. Si noti che in tutti i punti di una linea coordinata risulta costante una delle due curvilinee u o v, per cui si parla anche di linee u=cost, o v=cost (rispettiv., per i due sistemi di linee) o anche, rispettiv., di linee v e di linee u. Un sistema di c. curvilinee si dice poi doppiamente ortogonale se una qualunque linea u interseca ad angolo retto una qualunque linea v. Tra le c. curvilinee nel piano rientrano come casi particolari le c. cartesiane ortogonali, per cui le linee u e v sono le parallele ai due assi coordinati. ◆ [GFS] C. geodetiche: v. coordinate terrestri: I 763 a; geodesia: III 15 e. ◆ [GFS] C. geodetiche-geocentriche: v. coordinate terrestri: I 763 a. ◆ [GFS] C. geodetiche in un datum locale: v. coordinate terrestri: I 764 a. ◆ [GFS] C. geografiche: v. coordinate terrestri: I 763 a. ◆ [GFS] C. geomagnetiche: c., analoghe a quelle geografiche, stabilite con rifer. non all'asse terrestre ma all'asse del campo geomagnetico dipolare: v. magnetismo terrestre: III 538 f. ◆ [ALG] C. geometriche: i metodi di assegnare delle c. a un ente geometrico sono generalm. basati sull'idea di valutare la posizione del punto nello spazio rispetto a sottoinsiemi dello spazio stesso, come curve, superfici, ecc.; un caso particolare, e molto usato, è quello in cui le curve c. sono rette (c. rettilinee) e in questo caso si stabilisce una corrispondenza biunivoca tra n-ple di numeri e punti dello spazio. Ricorderemo qui di seguito casi particolari: (a) c. di un punto sulla retta (detta anche c. ascissa o, assolut., ascissa): distanza del punto dall'origine, la cui misura, espressa con un numero reale, è positiva oppure negativa a seconda che il verso sia uguale oppure contrario a quello fissato come positivo sulla retta; (b) c. cartesiane di un punto nel piano: sistema di c. ottenuto fissando nel piano un punto O, detto origine, e, per esso, due rette orientate (dette assi cartesiani) denominati rispettiv. asse delle ascisse (comunem. asse delle x) e asse delle ordinate (comunem. asse delle y) e costituenti nell'insieme il sistema di riferimento delle c., per cui a ogni punto P del piano si può far corrispondere una coppia ordinata (secondo determinati criteri, per es. per parallelismo, come nella fig. 1) di numeri reali relativ. ai due assi (a e b nella fig. 1); il sistema di riferimento può essere: ortogonale od obliquo, a seconda che i due assi coordinati siano o no tra di loro ortogonali; monometrico o dimetrico, a seconda che si sia scelta o no la medesima unità di misura per i due assi; generalm., si usano sistemi di riferimento ortogonali e monometrici; in tal caso (fig. 2) le c. di un punto non sono altro che le sue distanze (con segno) da due rette fisse, orientate, tra di loro ortogonali (gli assi anzidetti); (c) c. cartesiane ortogonali di un punto nello spazio: fissate nello spazio tre rette che si possono considerare spigoli di un triedro, fornite di un sistema di ascisse con origine comune nel punto O (fig. 3), e, preso nello spazio un qualsiasi punto, conducendo per tale punto i tre piani paralleli alle facce del triedro, essi incontreranno gli spigoli Ox, Oy, Oz in tre punti le cui ascisse sono le tre c. cartesiane del punto, denominate nell'ordine ascissa, ordinata, quota; (d) c. polari di un punto nel piano: sono i due numeri ρ, ϑ, chiamati, rispettiv., raggio vettore e anomalia (o azimut), i quali indicano, rispettiv., la distanza del punto da un punto fisso (detto polo) e l'angolo compreso tra una semiretta prefissata con origine nel punto fisso (detta asse polare) e la semiretta con origine nel punto fisso passante per il punto considerato (fig. 1); (e) c. polari di un punto nello spazio: presi nello spazio un punto O (detto polo), una retta orientata r passante per questo punto (detta asse polare) e un verso positivo nel fascio di piani aventi la retta come asse (fig. 2), sono denominati c. polari i tre numeri che individuano un punto nello spazio, indicanti la distanza ρ dal polo, l'angolo ϑ compreso fra le due rette orientate r e OP, l'angolo φ compreso tra i due semipiani a e Pr; tali c. (dette anche c. sferiche) sono denominate, rispettiv., raggio vettore, colatitudine o distanza zenitale, longitudine o azimut; le relazioni tra c. cartesiane (ortogonali, monometriche) e c. polari sono: x=ρ cosφ sinϑ, y=ρ sinφ sinϑ, z=ρ cosϑ e ρ=(x2+y2+z2)1/2, φ=arctan[y/x], ϑ=arctan [(x2+ y2)1/2/z], utilizzabili anche nel piano (z=0, ϑ=0); (f) c. cilindriche, o semipolari: sono la quota z e le c. polari ρ, φ della proiezione del punto su un piano x, y (piano equatoriale: v. fig.); (g) c. curvilinee: generalizzazione delle c. cartesiane in cui gli assi di riferimento rettilinei siano sostituiti da linee curve, definite mediante equazioni. Per il passaggio da un sistema di c. a un altro si hanno le seguenti trasformazioni: (a) trasformazioni di c. cartesiane nel piano: se i nuovi assi cartesiani O'(x'y') sono paralleli e concordi ai vecchi assi O(xy) (traslazione del sistema di riferimento) si hanno le relazioni: x=x'+a, y=y'+b, con le inverse x'=x-a, y'-b in cui a, b sono le vecchie c. della nuova origine O'; se invece i nuovi assi cartesiani si ottengono sottoponendo i vecchi assi a una rotazione di ampiezza ϕ valgono le formule: x=x' cosϕ-y' sinφ, y=x' sinϕ+y' cosφ e x'=x cosφ+y sinφ, y'=-x sinφ+y cosφ; nel caso generale, un cambiamento di c. si può decomporre in una traslazione seguita (o preceduta) da una rotazione; (b) trasformazione di c. cartesiane nello spazio: i casi più importanti sono la traslazione degli assi e la rotazione degli assi dal sistema (O,x,y,z) al sistema (O',x', y',z'); le formule per la traslazione sono: x=x'+a, y=y'+b, z=z'+c, e le inverse x'=x-a, y'=y-b, z'=z-c, in cui a, b, c sono le vecchie c. della nuova origine O'. Per il caso della rotazione introduciamo i simboli della seguente tabella: ✄. Si ha allora: x=c₁₁x'+c₁₂y'+c₁₃z', y=c₂₁x'+c₂₂y'+ c₂₃z', z=c₃₁x'+c₃₂y'+c₃₃z', e x'=c₁₁x+c₂₁y+c₃₁z, y'=c₁₂x+c₂₂y+c₃₂z, z'=c₁₃x+c₂₃y+c₃₃z. La matrice A che ha per elementi i coefficienti cij è detta matrice ortogonale e ha la proprietà AT=A-1; le matrici ortogonali formano un gruppo di Lie denominato SO₃ o SO(3). ◆ [FSD] C. interne: parametri molecolari (lunghezze di legame, angoli di valenza e di torsione) che si introducono per la descrizione e la trattazione teorica della geometria molecolare: v. polimero: IV 557 a. ◆ [GFS] C. intrinseche: v. coordinate terrestri: I 762 b; geodesia: III 15 d. ◆ [GFS] C. naturali: v. coordinate terrestri: I 762 e. ◆ [GFS] C. magnetiche: lo stesso che c. geomagnetiche. ◆ [MCS] C. normali: v. meccanica statistica: III 734 d. ◆ [ALG] C. omogenee: per es. nel piano, accanto alle due c. cartesiane x,y di un punto, sono le tre c. x₁,x₂,x₃ legate alle precedenti dalle relazioni x=x₁/x₃, y=x₂/x₃; si tratta dunque di c. definite a meno di una costante di proporzionalità, per cui a un punto del piano resta associata una terna di numeri e tutte quelle a essa proporzionali per un fattore non nullo. Sono le c. più adatte allo studio delle proprietà proiettive delle figure. Con una costruzione analoga si possono introdurre le c. omogenee in spazi con un numero maggiore di dimensioni. ◆ [ASF] C. orarie: v. coordinate astronomiche: I 757 a. ◆ [ASF] C. orizzontali: lo stesso che c. altazimutale (v. sopra). ◆ [ALG] C. ortogonali: v. sopra: C. geometriche. ◆ [ALG] C. polari: nel piano e nello spazio, v. sopra: C. geometriche. ◆ [ALG] C. rettangolari: lo stesso che c. cartesiane ortogonali (v. sopra: C. geometriche). ◆ [MCC] C. risonanti: v. perturbazioni in meccanica classica: IV 501 e. ◆ [ALG] C. sferiche: lo stesso che coordinate polari (v. sopra: C. geometriche). ◆ [ALG] C. semipolari: lo stesso che c. cilindriche (v. sopra: C. geometriche). ◆ [ASF] C. standard: v. sopra: C. astronomiche standard. ◆ [GFS] C. terrestri: terna di numeri atti a individuare la posizione di un punto rispetto alla superficie terrestre: v. coordinate terrestri. ◆ [RGR] [MCQ] Condizione di c. armoniche: v. gravità quantistica: III 80 d. ◆ [FSP] Metodo delle c.: v. astronautica: I 203 f. ◆ [ASF] Trasformazione di c. astronomiche: v. catalogo fondamentale: I 522 a; coordinate astronomiche: I 757 a. ◆ [GFS] Trasformazione di c. terrestri: v. coordinate terrestri: I 764 e.