coordinate proiettive
coordinate proiettive
coordinate proiettive in geometria proiettiva, sistema di coordinate atto a descrivere ogni elemento di un piano o, più in generale, di uno spazio proiettivo, compresi i suoi elementi impropri, quali rette e piani all’infinito. Le ordinarie coordinate cartesiane non consentono infatti la rappresentazione di tali elementi attraverso numeri reali, essendo tali elementi, in una interpretazione legata a una ordinaria visione metrica, situati a distanza infinita dagli assi di riferimento. In ambiente proiettivo è pertanto necessario introdurre un differente sistema di coordinate. Nel piano proiettivo, un punto è rappresentato, a meno di un fattore di proporzionalità, da una terna ordinata di numeri reali non tutti nulli (x0, x1, x2). A tale terna, se x0 ≠ 0, corrisponde il punto del piano avente coordinate cartesiane x = x1/x0 e y = x2/x0. I tre numeri non devono essere tutti nulli e quindi alla terna (0, 0, 0) non corrisponde alcun punto del piano. I punti con la coordinata x0 = 0, che non hanno corrispondenti in un riferimento cartesiano, sono punti impropri; per esempio, il punto di coordinate (0, x1, x2) è un generico punto improprio, il punto di coordinate (0, 1, 0) corrisponde al punto improprio che esprime la direzione dell’asse delle ascisse, il punto di coordinate (0, 0, 1) corrisponde al punto improprio dell’asse delle ordinate. L’equazione cartesiana di una retta nel piano, ax + by + c = 0, in coordinate proiettive diventa ax1 + bx2 + cx0 = 0 e le coordinate del suo punto improprio sono (0, b, − a). Come si può osservare, con tale convenzione, l’equazione di una retta diventa una equazione omogenea di primo grado. Per tale motivo le coordinate proiettive sono anche dette coordinate proiettive omogenee.
In modo analogo, le coppie ordinate di numeri reali (x0, x1) possono assumere significato di coordinate proiettive omogenee per i punti di una retta e le quaterne di numeri (x0, x1, x2, x3) quello di coordinate proiettive omogenee per i punti dello spazio tridimensionale. In generale, i punti di uno spazio proiettivo di dimensione n sono rappresentati da (n + 1)-ple di coordinate proiettive omogenee.